C++:使用 lapack 求解欠定线性系统

Question

简单来说:我有一个欠定的线性方程组

Ax = b

我想得到一个有效的解决方案，无论系统的无限解决方案中的哪一个。我想尽可能高效地获得它。

我已经检查了一般的 LAPACK 例程，它们似乎无法处理未确定的情况。例如，dgesv()，其文档可在here中找到如果来自 PLU 分解的因子 U 是奇异的，将在 INFO 中返回大于 1 的整数，如果是这种情况，它将不求解系统。

我还检查了线性最小二乘问题 (LLS) (documentation here) 的一些例程，它们确实解决了我的问题，只是效率不如我希望的那样。如果我提供的 LLS 问题是欠定的，LLS 例程将返回最小化的 vector

||Ax-b||

这是一个有效的解决方案。但是，它被计算为优化问题的解决方案，我想知道是否有更有效的方法来为我的欠定问题获得有效解决方案。

有人提出了类似的问题here ，但我相信我的问题比这更具体:我正在使用 LAPACK，我想尽可能高效地求解欠定的线性方程组。

Answer 1

对于欠定方程组:

正确的做法是使用奇异值分解(SVD)。 Lapack 以dgesvd 的形式提供奇异值分解。

要执行 SVD，您必须将您的问题均质化以将其转化为以下形式的矩阵问题:My = 0。这很容易通过引入另一个自由度(另一个变量)来实现。这将转换 vector x -> y 和矩阵 A -> M。在矩阵 M 上执行 SVD 时，最小奇异 vector 将是欠定最小二乘问题的解。

我建议在浪费时间编写任何代码之前使用 ma​​tlab 或 octave 进行实验。