c++ - 寻找二维贝塞尔曲线的拐点

Question

我需要确定二维贝塞尔曲线上的拐点(曲率变化的点)，由 t 参数化，0 <= t <= 1，如果他们存在。我最初的方法是沿曲线采样，评估二阶导数并找到导数符号变化的点。

2DVector curvature1, curvature2;
for (double t = 0, t <= 1.0; t += STEP) {
    curvature1 = bezier.CurvatureAt(t);
    curvature2 = bezier.CurvatureAt(t + (STEP/2.0 >= 1.0 ? 0 : t + STEP/2.0));
    if (isNegative(curvature1) ? isPositive(curvature2) : isNegative(curvature2)) {
        inflection_point = t;
    }
 }

其中 CurvatureAt() 是一种计算贝塞尔曲线在 t 处的二阶导数的方法，但由于贝塞尔曲线是 vector 值函数，导数作为二维 vector 返回(不是标准: :vector，一个二维 vector 类)。我不知道如何解释 vector 的“符号变化位置”。基本上我不知道如何在上面的代码片段中写 isNegative 或 isPositive。

还有其他方法可以找到二维贝塞尔曲线的拐点吗？

我认为不可能确定此问题的封闭形式解决方案，因为贝塞尔曲线可以是任意度数，但是如果我在这里错了，请纠正我。

Answer 1

曲率与二阶导数有关但不同。

参数曲线的有符号曲率 P(t) = (x(t), y(t)) 实际上是一个数字，定义为:

k(t) = (x'y'' - x''y') / (x' * x' + y' * y')^(3/2)

如果您使用此公式，您的原始想法应该可行。