c++ - 将 RotateAxisAngle 反转回角度

Question

我正在尝试弄清楚如何反转 RotateAxisAngle 以获得围绕这些任意 Axis 的旋转(或产生相同净旋转的等效旋转，不必完全相同)。有谁知道该怎么做？我正在使用 MathGeoLib，但我没有看到相反的方法，当您只有矩阵时返回关于 Axis 的角度。

这是前向代码(RotateAxisAngle 来自 MathGeoLib):

float4x4 matrixRotation = float4x4::RotateAxisAngle(axisX, ToRadian(rotation.x));
matrixRotation = matrixRotation * float4x4::RotateAxisAngle(axisY, ToRadian(rotation.y));
matrixRotation = matrixRotation * float4x4::RotateAxisAngle(axisZ, ToRadian(rotation.z));

现在我想回到关于这些任意 Axis 的度数，以相同的顺序(好吧，拉开 Z，然后是 Y，然后是 X)，所以如果我再做一次，向前的方向，会产生相同的结果净旋转。

这是与我在上面发布的那组旋转相对应的示例/矩阵，如果有帮助，请返回它:

axisX:
x   0.80878228  float
y   -0.58810818 float
z   0.00000000  float
Rot about that axis:
30.000000   float

axisY:
x   0.58811820  float
y   0.80877501  float
z   0.00000000  float
Rot about that axis:
60.000000   float

axisZ:
x   0.00000000  float
y   0.00000000  float
z   1.0000000   float
Rot about that axis:
40.000000   float

形成这个矩阵，存储到一个文件中，需要检索绕上述 Axis 的旋转(没有关于最初使用的旋转的任何信息)

[4][4]
[0x0]   0.65342271  float
[0x1]   -0.51652151 float
[0x2]   0.55339342  float
[0x3]   0.00000000  float
[0x0]   0.69324547  float
[0x1]   0.11467478  float
[0x2]   -0.71151978 float
[0x3]   0.00000000  float
[0x0]   0.30405501  float
[0x1]   0.84856069  float
[0x2]   0.43300733  float
[0x3]   0.00000000  float
[0x0]   0.00000000  float
[0x1]   0.00000000  float
[0x2]   0.00000000  float
[0x3]   1.0000000   float

Answer 1

好的，我要再试一次。我的第一个答案是 XYZ 旋转顺序。这个答案是针对 ZYX 订单的，现在我对 MathGeoLib 的工作原理有了更多的了解。

MathGeoLib 将位置 vector 表示为列 vector v = [x y z 1]^T，其中 ^T 是将行翻转为列(反之亦然)的转置运算符。旋转矩阵预乘列 vector 。因此，如果我们有一个表示绕 x Axis 旋转 s 度的矩阵 Rx(s)，则表示绕 y Axis 旋转的旋转 Ry(t) Axis 旋转 t 度，然后旋转 Rz(u) 表示绕 z Axis 旋转 u 度，我们将它们组合并与 v 相乘作为 Rx (s) Ry(t) Rz(u) v，我们实际上首先应用了 z 旋转。但我们仍然可以从组合矩阵中计算出角度，只是公式将与更常见的 XYZ 顺序不同。

我们有旋转矩阵的左上角 block ，如下所示。 (第四行和第四列除对角线元素为 1 外均为 0；在随后的计算中它永远不会改变，因此我们可以放心地忽略。)MathGeoLib 似乎使用左手坐标，因此旋转矩阵为:

        [1      0      0]          [ cos t  0  sin t]          [ cos u -sin u  0]
Rx(s) = [0  cos s -sin s], Ry(t) = [     0  1      0], Rz(u) = [ sin u  cos u  0]
        [0  sin s  cos s]          [-sin t  0  cos t]          [     0      0  1]

(注意 Ry(t) 中 - 符号的位置；它在那里是因为我们以循环顺序考虑坐标。Rx(s) 旋转 y 和z; Ry(t) 旋转 z 和 x; Rz(u) 旋转 x 和 y。由于 Ry(t) 旋转 z 和 x不是按字母顺序而是按循环顺序，旋转方向与您期望的字母顺序相反。

现在我们以正确的顺序将矩阵相乘。 Rx(s) Ry(t) 是

[1      0      0][ cos t  0  sin t]   [       cos t      0        sin t] 
[0  cos s -sin s][     0  1      0] = [ sin s*sin t  cos s -sin s*cos t]
[0  sin s  cos s][-sin t  0  cos t]   [-cos s*sin t  sin s  cos s*cos t]

Rz(u) 的乘积是

[       cos t      0        sin t][ cos u -sin u  0] 
[ sin s*sin t  cos s -sin s*cos t][ sin u  cos u  0] =
[-cos s*sin t  sin s  cos s*cos t][     0      0  1]

[                   cos t*cos u                   -cos t*sin u        sin t]
[ sin s*sin t*cos u+cos s*sin u -sin s*sin t*sin u+cos s*cos u -sin s*cos t]
[-cos s*sin t*cos u+sin s*sin u  cos s*sin t*sin u+sin s*cos u  cos s*cos t]

所以我们可以按如下方式算出角度:

tan s = -(-sin s * cos t)/(cos s * cos t) = M23/M33 => s = -arctan2(M23,M33)
sin t = M13 => t = arcsin(M13)
tan u = -(-cos t * sin u)/(cos t * cos u) = M12/M11 => u = -arctan2(M12,M11)

如果我们要实现这些计算，我们需要了解矩阵在 MathGeoLib 中的索引方式。索引是行优先的，就像数学符号一样，但索引从 0(计算机风格)而不是 1(数学风格)开始，所以你想要的 C++ 公式是

s = -atan2(M[1][2],M[2][2]);
t = asin(M[0][2]);
u = -atan2(M[0][1],M[0][0]);

角度以弧度为单位返回，因此如果需要，需要将其转换为度数。当旋转 Axis Z、Y 和 X 处于标准位置 (001)、(010) 和 (100) 时，您应该测试该结果。

如果我们要反转非标准 Axis 的旋转，如您的示例，问题将变得更加困难。但是，我认为可以通过“改变坐标”来完成。所以如果我们的旋转神秘矩阵是 matrixRotation，我相信你可以形成“共轭”矩阵

M = coordinateChangeMatrix*matrixRotation*coordinateChangeMatrix^{-1}

然后使用上面的公式。这里 coordinateChangeMatrix 将是矩阵

[Xaxis0 Xaxis1 Xaxis2 0]
[Yaxis0 Yaxis1 Yaxis2 0]
[Zaxis0 Zaxis1 Zaxis2 0]
[     0      0      0 1]

其中旋转 X Axis 为 (Xaxis0,Xaxis1,Xaxis2)。在您的示例中，这些数字将是 (0.808...,-0.588...,0)。你应该确保旋转矩阵是标准正交的，即 Xaxis 与自身的点积为 1，Xaxis 与另一个轴的点积为 0，其他任何 Axis 都相同。如果坐标变化矩阵不是正交的，计算可能仍然有效，但我不确定。

可以使用 float4x4::inverseOrthonormal 计算坐标变化矩阵的逆矩阵，或者如果它不是正交矩阵，您可以使用 float4x4::inverse 但正如我提到的，我不' 知道它的效果如何。