c++ - Reed-Solomon 纠错码的 Schifra 库中生成多项式索引的理想值是多少？

Question

我正在尝试使用 Schifra Reed-Solomon error correcting code library在一个项目中。我对 Reed-Solomon 代码和 Galois 域的工作原理一无所知。我无法计算出 16 位符号(字段描述符)的 generator_polynomial_index 的理想值。

我的代码适用于索引 0 和许多其他索引。我已经尝试了索引的所有值。该代码适用于其中很多(准确地说是 0-32724 和 32779-65485)但是

问题

1. 最理想的值(value)是多少？
2. 如果我切换到另一个索引值(也可以但不理想)，会发生什么变化？

我的其他发现:

• field_descriptor = symbol size(bits/symbol)

• code_length(Total number of symbols(data symbols + error-correction code symbols)) = 2^symbol_size - 1(库只支持这个值的code length)

• generator_polynomial_root_count = fec_length(冗余度或纠错符号数)

• 错误以符号而不是位来衡量，即特定符号中 1 个不正确的位计为 1 个错误。但即使所有 16 位都不正确；它会算作 1 个错误(不是 16 个)。

• 可修正的最大错误数和删除数应满足以下不等式:2*num_errors + num_erasures < fec_length

如有不妥请指正

const std::size_t field_descriptor                =   16;
const std::size_t generator_polynomial_index      =  index;
const std::size_t generator_polynomial_root_count = 50;

/* Reed Solomon Code Parameters */
const std::size_t code_length = 65535;
const std::size_t fec_length  =  50;
const std::size_t data_length = code_length - fec_length;

/* Instantiate Finite Field and Generator Polynomials */
const schifra::galois::field field(field_descriptor,
schifra::galois::primitive_polynomial_size14, schifra::galois::primitive_polynomial14);

Answer 1

what is the ideal value of the generator_polynomial_index

可能没有“理想”值。

我不得不查看github代码以确定生成器字段索引是生成器多项式的第一个连续根的日志。

https://github.com/ArashPartow/schifra/blob/master/schifra_sequential_root_generator_polynomial_creator.hpp

通常索引为 0(第一个连续的根 == 1)或 1(第一个连续的根 == Alpha(字段原语))。选择 index = 1 用于“狭义”代码。它稍微简化了 Forney 算法。链接到 wiki 文章，其中“c”代表第一个连续根的日志(它将根列为 a^c、a^(c+1)、...):

https://en.wikipedia.org/wiki/Forney_algorithm

为什么要使用狭义代码:

https://math.stackexchange.com/questions/2174159/why-should-a-reed-solomon-code-be-a-narrow-sense-bch-code

对于硬件，可以通过使用自倒数生成多项式来减少唯一系数的数量，其中选择第一个连续的根，以便生成多项式的形式为:1 x^n + a x^(n- 1) + b x^(n-2) + ... + b x^2 + a x + 1。对于 GF(2^16) 中的 32 个根，第一个连续的根是 alpha^((65536-32)/2) = alpha^32752，最后一个连续的根将为 alpha^32783。请注意，这仅适用于二进制字段 GF(2^n)，而不适用于非二进制字段，例如 GF(929)(929 是质数)。该问题显示了不包括 32752 的索引范围；如果 32752 不适用于此库，那是由于库中的某些限制，而不是 Reed Solomon 纠错算法。

除了这 3 种情况，index = 0、1 或自倒数生成多项式，我不知道有任何理由选择不同的索引。索引的选择不太可能对尝试超出正常限制的解码产生任何影响。

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The maximum number of errors and erasures which can be rectified should obey the following inequality: 2*num_errors + num_erasures < fec_length

应该是

2*num_errors + num_erasures <= fec_length