python - Parseval 定理不适用于 ifft

Question

我有一个时间信号，我计算它的傅里叶变换以获得频率信号。根据帕塞瓦尔定理，这两个信号具有相同的能量。我用 Python 成功地演示了它。但是，当我计算频率信号的傅里叶逆变换时，能量不再守恒。这是我的代码:

import numpy as np
import numpy.fft as nf
import matplotlib.pyplot as plt

#create a gaussian as a temporal signal    
x = np.linspace(-10.0,10.0,num=1000)
dx = x[1]-x[0]
sigma = 0.4
gx = (1.0/(2.0*np.pi*sigma**2.0)**0.5)*np.exp(-0.5*(x/sigma)**2.0)

#calculate the spacing of the frequencial signal
f=nf.fftshift(nf.fftfreq(1000,dx))
kk = f*(2.0*np.pi)
dk = kk[1]-kk[0]

#calculate the frequencial signal (FT)
#the convention used here allows to find the same energy
gkk = nf.fftshift(nf.fft(nf.fftshift(gx)))*(dx/(2.0*np.pi)**0.5)

#inverse FT
gx_ = nf.ifft(nf.ifftshift(gkk))*dk/(2 * np.pi)**0.5

#Parseval's theorem
print("Total energy in time domain = "+str(sum(abs(gx)**2.0)*dx))
print("Total energy in freq domain = "+str(sum(abs(gkk)**2.0)*dk))
print("Total energy after iFT = "+str(sum(abs(gx_)**2.0)*dx))

执行这段代码后，你可以看到两个第一个能量是相同的，而第三个比第一个小几个数量级，虽然我应该找到相同的能量。这里发生了什么？

Answer 1

与其他软件相比，numpy FFT 程序确实会针对序列长度进行调整，因此您可以得到

nf.ifft(nf.fft(gx)) == gx

一些浮点错误。如果您的 dx 和 dk 是按通常方式计算的，则 dk*dx=(2*pi)/N 仅适用于未经调整的 FFT例程。

您可以使用

测试 numpy.fft 的行为

In [20]: sum(abs(gx)**2.0)
Out[20]: 35.226587122763036

In [21]: gk = nf.fft(gx)

In [22]: sum(abs(gk)**2.0)
Out[22]: 35226.587122763049

In [23]: sum(abs(nf.ifft(gk))**2.0)
Out[23]: 35.226587122763014

这告诉我们 fft 是通常的未调整变换，ifft 将结果除以序列长度 N=num。典型的 ifft 可以被模拟为

gxx = (nf.fft(gk.conj())).conj()

然后你就明白了

gx == gxx/1000

最多浮点错误。或者您可以使用

反转调整

#inverse FT
gx_ = nf.ifft(nf.ifftshift(gkk))*(num*dk)/(2 * np.pi)**0.5