python - Scipy 寻根法

Question

我正在编写一个具有数学函数作为属性的类，比如 f。

f 是:

• 在真实段上定义 [-w;+w]
• 正数且上界为实数 H
• 偶数(对于 [-w;+w] 中的所有 x，f(x)=f(-x))且 f(w)=f(-w)=0
• 在 [-w;+w] 上可微并且它的导数在 [-w;0] 上是正连续的

我的类(class)看起来像:

from scipy.misc import derivative
from scipy.integrate import quad
from math import cosh, sqrt

class Function(object):

    w = 1.
    PRECISION = 1e-6    

    def f(self, x):
        '''This is an example but f could be 
           any math function matching requirments above.
        '''
        return 0.5+1.07432*(1-cosh(x/1.07432)) 

    def deriv_f(self, x):
        return derivative(self.f, x, self.PRECISION)

    def x_to_arc_length(self, x):
        def func(x): 
            return sqrt(1+self.deriv_f(x)**2)
        return quad(func, -self.w, x)[0]

    def arc_length_to_x(self, L):
        bound = [-self.w, self.w]
        while bound[1]-bound[0] > self.PRECISION:
            mid= sum(bound)/2
            bound[(self.x_to_arc_length(mid)-L > 0)] = mid
        return sum(bound)/2

我使用二分法来反转弧长方法，但我正在考虑将其更改为 scipy.optimize 求根方法之一以提高速度。我是 scipy 的新手，必须承认我的数学有点生锈......Scipy 让我在 brentq、brenh、ridder、bisect 和 newton 之间进行选择.

谁能告诉我最适合这种情况的方法？或者也许有更好的图书馆？

Answer 1

我不是 Python 专家，但我从数值分析中了解到，在您列出的方法(Brent、二分法、Ridder 方法和 Newton-Raphson)中，Brent 方法通常是一般实数标量函数的首选 单个实变量 x 的 f。如您所见here ，如果 f 是连续的，并且该方法应用于具有 f(a)f(b)<0 的区间 [a,b]，则布伦特方法可以保证收敛为零，就像二分法一样。对于许多表现良好的函数，布伦特方法比二分法收敛得快得多，但在一些不幸的情况下，它可能需要 N^2 次迭代，其中 N 是迭代次数平分以达到给定的公差。

Newton's method另一方面，当它收敛时，通常比 Brent 收敛得更快，但也存在根本不收敛的情况。对于相同的函数，牛顿法可能收敛也可能不收敛，这还取决于起点和根之间的距离。因此，在通用代码中使用它的风险更大。

关于brentq和brenth的选择，it looks like它们应该非常相似，第一个测试更严格。因此，您可以选择 brentq，或者，如果您有时间，可以在它们之间做一些基准测试。