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从 x--y 平面中的大量点开始,我想选择这些点的一个子集,以便优先采用由已知长轴和短轴的椭圆定义的方式。例如:
import numpy as np
npts = int(1e5)
lim = 3
x = np.random.uniform(-lim, lim, npts)
y = np.random.uniform(-lim, lim, npts)
major_axis = np.array((1, 1))
minor_axis = np.array((-0.25, 0.25))
以上两个向量定义了一个轴比为 4-1 的椭圆,长轴指向直线 y = x。所以我试图写下一个蒙特卡洛采样算法,如果 x--y 平面中的一个点位于输入长轴上(在本例中为 y=x 线),则它被选中的概率更高位于短轴上的点(在本例中为线 y = -x),其中概率增强因子仅由长轴与短轴之比确定(因此在本例中为 4)。
我一直在尝试使用 scipy.stats.multivariate_normal
的 pdf
方法来做到这一点,但我认为我一定是使用方法不当。我要解决的方法是通过将长轴和短轴视为特征方向来定义协方差矩阵,在每个点上使用 pdf
方法,对这些概率进行排序,然后选择顶部的 Nselect
这些概率。
from scipy.stats import multivariate_normal
cov = np.array((major_axis, minor_axis))
p = np.vstack((x, y)).T
prob_select = multivariate_normal.pdf(p, cov=cov)
idx_select = np.argsort(prob_select)
Nselect = len(x)/10
result_x = x[idx_select][-Nselect:]
result_y = y[idx_select][-Nselect:]
fig, ax = plt.subplots(1, 1)
__=ax.scatter(result_x, result_y, s=1)
xlim = ax.set_xlim(-3, 3)
ylim = ax.set_ylim(-3, 3)
上图表明我的算法有问题,因为这个椭圆的长轴不在 y=x 线上。我怀疑协方差矩阵没有正确定义,但是当我将相同的协方差矩阵与 rvs
方法一起使用时,我得到了预期的分布:
correct_result = multivariate_normal.rvs(size=Nselect, cov=cov)
fig, ax = plt.subplots(1, 1)
__=ax.scatter(correct_result[:, 0], correct_result[:, 1], s=1)
xlim = ax.set_xlim(-3, 3)
ylim = ax.set_ylim(-3, 3)
我在使用 multivariate_normal.pdf
或协方差矩阵定义时是否犯了一个简单的错误?如果算法在其他方面存在缺陷,是否有更简单的方法来定义从椭圆的长轴/短轴开始的选择函数?
最佳答案
这里的协方差矩阵是病式的,您无法从结果行为中做出任何推论。 rvs
方法在这种情况下给出不同结果的事实仅反射(reflect)了 rvs
和 pdf
函数以不同方式预处理它们的参数这一事实.鉴于 rvs
基本上将其参数直接传递给 numpy.multivariate_normal
...
# https://github.com/scipy/scipy/blob/v0.14.0/scipy/stats/_multivariate.py#L405
dim, mean, cov = _process_parameters(None, mean, cov)
out = np.random.multivariate_normal(mean, cov, size)
return _squeeze_output(out)
pdf
将协方差矩阵传递给计算伪逆的函数:
# https://github.com/scipy/scipy/blob/v0.14.0/scipy/stats/_multivariate.py#L378
dim, mean, cov = _process_parameters(None, mean, cov)
x = _process_quantiles(x, dim)
prec_U, log_det_cov = _psd_pinv_decomposed_log_pdet(cov)
out = np.exp(self._logpdf(x, mean, prec_U, log_det_cov))
return _squeeze_output(out)
如果协方差矩阵格式正确,这些只能保证给出一致的结果。
协方差矩阵只是每个对应维度对的协方差,因此根据定义它是对称的。
文档重申了这一点:
cov : 2-D array_like, of shape (N, N)
Covariance matrix of the distribution. It must be symmetric and positive-semidefinite for proper sampling.
假设你想得到长轴和短轴的协方差矩阵,你真正想要的是求解一个反向特征向量问题!耶!我希望我们有 mathjax...
我们需要一个对称矩阵 C = [[a, b], [b, a]]
使得 [1, 1]
和 [1 , -1]
是特征向量,我们也希望特征值的比例是四比一。这意味着 C * [1, 1] = [4, 4]
和 C * [1, -1] = [1, -1]
。选择 1 作为我们的次要索引特征值和 4 作为我们的主要索引特征值,并使用变量手动进行矩阵乘法,我们得到 a + b = 4
和 a - b = 1
。所以 A 是 2.5,b 是 1.5,C 是 [[2.5, 1.5], [1.5, 2.5]]
。
我们还可以使用矩阵方程来找到更直接的解。如果 E
是特征向量矩阵 [[1, 1], [1, -1]]
并且 lambda
是特征值的对角矩阵[[4, 0], [0, 1]]
,那么我们正在寻找满足以下条件的矩阵 X
:
X @ E = E @ lambda
其中 @
表示矩阵乘法(如在 Python 3.5+ 中)。
这意味着
X = E @ lambda @ E ^ -1
在 numpy
中是这样的
>>> E = numpy.array([[1, 1], [1, -1]])
>>> lambda_ = numpy.array([[4, 0], [0, 1]])
>>> E @ lambda_ @ numpy.linalg.pinv(E)
array([[ 2.5, 1.5],
[ 1.5, 2.5]])
在您的代码中将其用作 cov
可得到以下结果:
关于python - 使用scipy在xy平面定义一个蒙特卡洛采样椭圆,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/44572770/
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