python - 3维空间中点到线的最短距离

Question

我正在尝试使用 numpy 或 python 中的任何东西找到从点 (x0,y0,z0) 到由 (x1,y1,z1) 和 (x2,y2,z2) 连接的线的最小距离。不幸的是，我在网上能找到的所有内容都与二维空间有关，而且我对 python 还很陌生。任何帮助将不胜感激。提前致谢!

Answer 1

StackOverflow 不支持 Latex，因此我将掩盖一些数学问题。一种解决方案的想法是，如果您的线跨越点 p 和 q，那么该线上的每个点都可以表示为 t*(p-q)+ q 为一些实值 t。然后，您想要最小化给定点 r 与该线上任意点之间的距离，而距离很方便地是单个变量 t 的函数，因此标准的微积分技巧起作用美好的。考虑以下示例，它计算 r 与 p 和 q 所跨越的线之间的最小距离。通过手写，我们知道答案应该是 1。

import numpy as np

p = np.array([0, 0, 0])
q = np.array([0, 0, 1])
r = np.array([0, 1, 1])

def t(p, q, r):
    x = p-q
    return np.dot(r-q, x)/np.dot(x, x)

def d(p, q, r):
    return np.linalg.norm(t(p, q, r)*(p-q)+q-r)

print(d(p, q, r))
# Prints 1.0

这适用于任何数量的维度，包括 2、3 和 10 亿。唯一真正的约束是 p 和 q 必须是不同的点，以便它们之间有一条唯一的线。

我在上面的例子中分解了代码，以显示我在数学上思考它的方式所产生的两个不同的步骤(找到 t 然后计算距离)。这不一定是最有效的方法，如果您想知道各种点和同一条线的最小距离，那肯定不是——如果维数很小，则更是如此。要获得更有效的方法，请考虑以下事项:

import numpy as np

p = np.array([0, 0, 0])  # p and q can have shape (n,) for any
q = np.array([0, 0, 1])  # n>0, and rs can have shape (m,n)
rs = np.array([          # for any m,n>0.
    [0, 1, 1],
    [1, 0, 1],
    [1, 1, 1],
    [0, 2, 1],
])

def d(p, q, rs):
    x = p-q
    return np.linalg.norm(
        np.outer(np.dot(rs-q, x)/np.dot(x, x), x)+q-rs,
        axis=1)

print(d(p, q, rs))
# Prints array([1.        , 1.        , 1.41421356, 2.        ])

可能有一些我遗漏的简化或其他可以加快速度的东西，但这至少应该是一个好的开始。