具有复杂积分界限的 Python scipy.integrate.quad

Question

我正在使用 Python 的 mpmath.gammainc 计算上部不完全 Gamma 函数:

import numpy as np
from mpmath import gammainc    

z = 0 # define power of t as t^(-1)
a = 0.5+0.4j # integral lower limit
b = np.inf # integral upper limit

myfun = np.array([gammainc(z,a,b,regularized=False)], dtype=complex)      

它是 mpmath 文档中定义的一维积分。我想使用 scipy 的 quad 比较这个结果 myfun功能:

myfun2 = scipy.integrate.quad(exp(-t)/t, a, inf)[0]

但是我认为 quad 不接受积分上限/下限的复杂参数。我不知道是否可以将问题分成实部/虚部。有什么想法吗？

Answer 1

积分应该取自 a 向右的水平半线。 (如果 a 是一个负实数，这将失败，但无论如何这是一个分支切割区域)。这条半线由 a+t 参数化，其中 t 是实数，从 0 到无穷大。因此，对 exp(-(a+t))/(a+t) 从 0 到无穷大进行积分。

此外，SciPy 中的 quad 需要实值函数，因此将其分为实部和虚部。并且不要忘记该函数必须作为可调用对象传递，例如 lambda t: np.exp(-t)，而不仅仅是 exp(-t)

from scipy import integrate
myfun2_re = integrate.quad(lambda t: np.real(np.exp(-(a+t))/(a+t)), 0, np.inf)[0]
myfun2_im = integrate.quad(lambda t: np.imag(np.exp(-(a+t))/(a+t)), 0, np.inf)[0]
myfun2 = myfun2_re + 1j*myfun2_im
print(myfun2)

这打印

(0.3411120086192922-0.36240971724285814j)

与myfun相比，

array([ 0.34111201-0.36240972j])

顺便说一句，如果您只想转换单个数字，则无需将 myfun 包装到数组中:complex(gammainc(...)) 即可。