python - 如何生成特定形式的 NxN 矩阵

Question

我正在使用马尔可夫链解决问题，为此我需要生成一个 NxN 转换矩阵。

矩阵的第一行、第一列和左下对角线应包含零，并且随着行的增加而增加大小的分数。对于 NxN 矩阵，第一行中的分数是 1/n，下一行是 1/n-1 等等，直到分数为 1 的第 n-1 行。我在下面包含了 10x10 和 5x5 的示例.

p10 = ([0, 1/10, 1/10, 1/10, 1/10, 1/10, 1/10, 1/10, 1/10, 1/10, 1/10],
         [0, 0, 1/9, 1/9, 1/9, 1/9, 1/9, 1/9, 1/9, 1/9, 1/9],
         [0, 0, 0, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8, 1/8],
         [0, 0, 0, 0, 1/7, 1/7, 1/7, 1/7, 1/7, 1/7, 1/7],
         [0, 0, 0, 0, 0, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6],
         [0, 0, 0, 0, 0, 0, 1/5, 1/5, 1/5, 1/5, 1/5],
         [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1/4, 1/4, 1/4, 1/4],
         [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1/3, 1/3, 1/3],
         [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1/2, 1/2],
         [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1],
         [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],) 


p5 = ([0,1/5,1/5,1/5,1/5,1/5],
      [0,0,1/4,1/4,1/4,1/4],
      [0,0,0,1/3,1/3,1/3],
      [0,0,0,0,1/2,1/2],
      [0,0,0,0,0,1],
      [0,0,0,0,0,0],)

我刚开始在 Python 中使用矩阵，所以我想知道为用户指定的给定维度生成这些矩阵的最简单/最有效的方法是什么(编辑:我已经导入了 numpy 模块，所以任何利用它的解决方案将不胜感激。

Answer 1

对于矩阵，我建议使用 numpy。为了得到你想要的，你可以使用:

import numpy as np

def transition_matrix(n):
    arr = np.zeros((n+1, n+1))
    division = 1. / np.linspace(1, n, n)[::-1] # this changes it from 1 / [1,2,3, ... , n-1, n] to 1 / [n, n-1, n-2, ..., 2 ,1] which is the order we want to add the division values

    for i in range(n):
        arr[i, i+1:] = division[i] # fill the array with the division values at row i starting at column i + 1 until the end
    return arr

产生:

[[0.         0.25       0.25       0.25       0.25      ]
 [0.         0.         0.33333333 0.33333333 0.33333333]
 [0.         0.         0.         0.5        0.5       ]
 [0.         0.         0.         0.         1.        ]
 [0.         0.         0.         0.         0.        ]]

对于 n = 4

然而，对于非常大的矩阵，这会变慢，但如果你保持在 1000x1000 以下，你应该没问题。

我在没有循环的情况下尝试了答案，对于小于 +/- 80x80 的矩阵，这个答案更快，之后循环实际上更快，因为我相信它每行只计算一个除法。所以使用适合您问题的那个