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我有一个 L
张量列表(ndarray
对象),每个张量都有几个索引。我需要根据连接图来收缩这些指数。
连接以 ((m,i),(n,j))
形式编码在元组列表中,表示“收缩第 i 个索引张量 L[m]
与张量 L[n]
的第 j 索引。
如何处理非平凡的连接图?第一个问题是,一旦我收缩一对索引,结果就是一个不属于列表 L
的新张量。但即使我解决了这个问题(例如,通过为所有张量的所有索引提供唯一标识符),也存在一个问题,即人们可以选择任何顺序来执行收缩,并且某些选择会在中间计算中产生不必要的巨大野兽(即使最终结果很小)。有什么建议吗?
最佳答案
抛开内存方面的考虑,我相信您可以在对 einsum
的一次调用中完成收缩,尽管您需要进行一些预处理。我不完全确定你所说的“当我收缩一对索引时,结果是一个不属于列表 L
的新张量”是什么意思,但是我认为一步完成收缩就能完全解决这个问题。
我建议使用替代的、数字索引的语法 einsum
:
einsum(op0, sublist0, op1, sublist1, ..., [sublistout])
所以您需要做的是对索引进行编码,以在整数序列中收缩。首先,您需要最初设置一系列唯一索引,并保留另一个副本用作 sublistout
。然后,迭代您的连接图,您需要在必要时将收缩索引设置为相同的索引,同时从 sublistout
中删除收缩索引。
import numpy as np
def contract_all(tensors,conns):
'''
Contract the tensors inside the list tensors
according to the connectivities in conns
Example input:
tensors = [np.random.rand(2,3),np.random.rand(3,4,5),np.random.rand(3,4)]
conns = [((0,1),(2,0)), ((1,1),(2,1))]
returned shape in this case is (2,3,5)
'''
ndims = [t.ndim for t in tensors]
totdims = sum(ndims)
dims0 = np.arange(totdims)
# keep track of sublistout throughout
sublistout = set(dims0.tolist())
# cut up the index array according to tensors
# (throw away empty list at the end)
inds = np.split(dims0,np.cumsum(ndims))[:-1]
# we also need to convert to a list, otherwise einsum chokes
inds = [ind.tolist() for ind in inds]
# if there were no contractions, we'd call
# np.einsum(*zip(tensors,inds),sublistout)
# instead we need to loop over the connectivity graph
# and manipulate the indices
for (m,i),(n,j) in conns:
# tensors[m][i] contracted with tensors[n][j]
# remove the old indices from sublistout which is a set
sublistout -= {inds[m][i],inds[n][j]}
# contract the indices
inds[n][j] = inds[m][i]
# zip and flatten the tensors and indices
args = [subarg for arg in zip(tensors,inds) for subarg in arg]
# assuming there are no multiple contractions, we're done here
return np.einsum(*args,sublistout)
一个简单的例子:
>>> tensors = [np.random.rand(2,3), np.random.rand(4,3)]
>>> conns = [((0,1),(1,1))]
>>> contract_all(tensors,conns)
array([[ 1.51970003, 1.06482209, 1.61478989, 1.86329518],
[ 1.16334367, 0.60125945, 1.00275992, 1.43578448]])
>>> np.einsum('ij,kj',tensors[0],tensors[1])
array([[ 1.51970003, 1.06482209, 1.61478989, 1.86329518],
[ 1.16334367, 0.60125945, 1.00275992, 1.43578448]])
如果有多个收缩,循环中的物流会变得有点复杂,因为我们需要处理所有重复项。然而,逻辑是相同的。此外,上述内容显然缺少确保相应索引可以收缩的检查。
事后看来,我意识到不必指定默认的 sublistout
,einsum
无论如何都会使用该顺序。我决定将该变量保留在代码中,因为万一我们需要一个重要的输出索引顺序,我们必须适本地处理该变量,它可能会派上用场。
至于收缩顺序的优化,您可以在 np.einsum
1.12 版中实现内部优化(正如@hpaulj 在现已删除的评论中指出的那样)。此版本向 np.einsum
引入了 optimize
可选关键字参数,允许选择以内存为代价减少计算时间的收缩顺序。传递 'greedy'
或 'optimal'
作为 optimize
关键字将使 numpy 选择一个收缩顺序,大致按照维度大小的递减顺序。
可用于 optimize
关键字的选项来自显然未记录的(就在线文档而言;help()
幸运地工作)函数 np.einsum_path
:
einsum_path(subscripts, *operands, optimize='greedy')
Evaluates the lowest cost contraction order for an einsum expression by
considering the creation of intermediate arrays.
np.einsum_path
的输出收缩路径也可以用作np.einsum
的optimize
参数的输入。在您的问题中,您担心使用的内存过多,因此我怀疑默认情况下没有优化(运行时间可能更长,内存占用量更小)。
关于python - python中的高效张量收缩,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/42034480/
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