python - 将多元函数根的求根算法中的两个根之一括起来

Question

对于(可能具有误导性的)标题和可能令人困惑的问题本身，我深表歉意，我在措辞问题上费了很大劲，尤其是将它压缩成一个句子作为标题。我想使用 python 找到具有两个变量 w 和 t 的函数 f(w, t, some_other_args) 的根。真正的函数结构真的又长又复杂，你可以在这篇文章的最后找到它。重要的是它包含以下行:

k = 1.5 * m.sqrt((1.0 - w) / (1.0 - 0.25 * w))

这意味着 w 不能超过 1，因为那样会导致计算负数的平方根，这当然是不可能的。我有使用函数中的其他值计算 w 和 t 的近似值的算法，但它们非常不准确。

因此，我尝试使用 scipy.optimize.fsolve 计算根(在尝试了我可以在网上找到的所有求根算法之后，我发现这个算法最适合我的函数)使用这些近似值作为起点，看起来像这样:

solution = optimize.fsolve(f, x0=np.array([t_approx, w_approx]), args=(some_other_args))

对于大多数值，这工作得很好。但是，如果 w 太接近 1，那么 fsolve 会尝试为 w 尝试一些大于 1 的值，这在反过来，引发 ValueError(因为计算负数的根在数学上是不可能的)。这是打印出 fsolve 使用的值的示例，其中 w 应该在 0.997 左右:

w_approx: 0.9960090844989311
t_approx: 24.26777844720981
Values: t:24.26777844720981, w:0.9960090844989311
Values: t:24.26777844720981, w:0.9960090844989311
Values: t:24.26777844720981, w:0.9960090844989311
Values: t:24.267778808827888, w:0.9960090844989311
Values: t:24.26777844720981, w:0.996009099340623
Values: t:16.319554685876746, w:1.0096680915775516
      solution = optimize.fsolve(f, x0=np.array([t_approx, w_approx]), args=(some_other_args))
    File "C:\Users\...\venv\lib\site-packages\scipy\optimize\minpack.py", line 148, in fsolve
      res = _root_hybr(func, x0, args, jac=fprime, **options)
    File "C:\Users\...\venv\lib\site-packages\scipy\optimize\minpack.py", line 227, in _root_hybr
      ml, mu, epsfcn, factor, diag)
    File "C:\Users\...\algorithm.py", line 9, in f
      k = 1.5 * m.sqrt((1.0 - w) / (1.0 - 0.25 * w))
ValueError: math domain error

那么，我如何告诉 optimize.fsolve w 不能大于 1？或者做这样的事情的替代算法是什么(我知道 brentq 等等，但所有这些都需要为 both 根提供一个间隔，我不知道想做。)？

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测试代码(此处需要注意的重要事项:即使 func 理论上应该计算 R 和 T 给定 t 和 w，我必须反过来使用它。它有点笨拙，但我根本无法重写函数以使其接受 T, R 来计算 t, w - 对于我平庸的数学专业知识来说有点太多了 ;)) :

import math as m
from scipy import optimize
import numpy as np


def func(t, w, r_1, r_2, r_3):

    k = 1.5 * m.sqrt((1.0 - w) / (1.0 - 0.25 * w))

    k23 = 2 * k / 3

    z1 = 1 / (1 + k23)
    z2 = 1 / (1 - k23)
    z3 = 3 * ((1 / 5 + r_1 - r_2 - 1 / 5 * r_1 * r_2) / (z1 - r_2 * z2)) * m.exp(t * (k - 1))
    z4 = -(z2 - r_2 * z1) / (z1 - r_2 * z2) * m.exp(2 * k * t)
    z5 = -(z1 - r_2 * z2) / (z2 - r_2 * z1)
    z6 = 3 * (1 - r_2 / 5) / (z2 - r_2 * z1)

    beta_t = r_3 / (z2 / z1 * m.exp(2 * k * t) + z5) * (z6 - 3 / (5 * z1) * m.exp(t * (k - 1)))
    alpha_t = beta_t * z5 - r_3 * z6

    beta_r = (z3 - r_1 / 5 / z2 * m.exp(-2 * t) * 3 - 3 / z2) / (z1 / z2 + z4)
    alpha_r = -z1 / z2 * beta_r - 3 / z2 - 3 / 5 * r_1 / z2 * m.exp(-2 * t)

    It_1 = 1 / 4 * w / (1 - 8 / 5 * w) * (alpha_t * z2 * m.exp(-k * t) + beta_t * z1 * m.exp(k * t) + 3 * r_3 * m.exp(-t))

    Ir_1 = (1 / 4 * w / (1 - 8 / 5 * w)) * (z1 * alpha_r + z2 * beta_r + 3 / 5 + 3 * r_1 * m.exp(-2 * t))

    T = It_1 + m.exp(-t) * r_3
    R = Ir_1 + m.exp(-2 * t) * r_1

    return [T, R]


def calc_1(t, w, T, R, r_1, r_2, r_3):
    t_begin = float(t[0])
    T_new, R_new = func(t_begin, w, r_1, r_2, r_3)
    a = abs(-1 + T_new/T)
    b = abs(-1 + R_new/R)
    return np.array([a, b])


def calc_2(x, T, R, r_1, r_2, r_3):
    t = x[0]
    w = x[1]
    T_new, R_new = func(t, w, r_1, r_2, r_3)
    a = abs(T - T_new)
    b = abs(R - R_new)
    return np.array([a, b])


def approximate_w(R):
    k = (1 - R) / (R + 2 / 3)
    w_approx = (1 - ((2 / 3 * k) ** 2)) / (1 - ((1 / 3 * k) ** 2))
    return w_approx


def approximate_t(w, T, R, r_1, r_2, r_3):
    t = optimize.root(calc_1, x0=np.array([10, 0]), args=(w, T, R, r_1, r_2, r_3))
    return t.x[0]


def solve(T, R, r_1, r_2, r_3):
    w_x = approximate_w(R)
    t_x = approximate_t(w_x, T, R, r_1, r_2, r_3)
    sol = optimize.fsolve(calc_2, x0=np.array([t_x, w_x]), args=(T, R, r_1, r_2, r_3))
    return sol


# Values for testing:
T = 0.09986490557943692
R = 0.8918728343037964
r_1 = 0
r_2 = 0
r_3 = 1

print(solve(T, R, r_1, r_2, r_3))

Answer 1

logistic呢？正在处理您想要约束的论点？我的意思是，在 f 中，你可以做

import numpy as np

def f(free_w, ...):
    w = 1/(1 + np.exp(-free_w)) # w will always lie between 0 and 1
    ...
    return zeros

然后，您只需对 free_w 的解决方案值应用相同的逻辑转换即可获得 w*。见

solution = optimize.fsolve(f, x0=np.array([t_approx, w_approx]), args=(some_other_args))
free_w   = solution[0]
w        = 1/(1 + np.exp(-free_w))