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我有一个邻接列表,我已经为一个给定的图创建了节点和加权边。我想找出在图中找到最长路径的最佳方法。我有一个拓扑排序方法,我听说它很有用,但是我不确定如何实现它来找到最长的路径。那么,有没有一种方法可以使用拓扑排序来实现这一点,或者有没有一种更有效的方法?
下面是一个my out for the adj list的示例(括号中的值是到达箭头后面节点的成本:
Node 0 (4)->1(9)->2
Node 1 (10)->3
Node 2 (8)->3
Node 3
Node 4 (3)->8(3)->7
Node 5 (2)->8(4)->7(2)->0
Node 6 (2)->7(1)->0
Node 7 (5)->9(6)->1(4)->2
Node 8 (6)->9(5)->1
Node 9 (7)->3
Node 10 (12)->4(11)->5(1)->6
最佳答案
布赖恩已经回答了你上面的问题,但我想我可以更深入一些。
首先,正如他所指出的,这个问题只有在没有周期的情况下才容易解决。如果有周期,你会遇到无限长的路径。在这种情况下,可以将最长路径定义为没有重复节点的任何路径。不幸的是,这个问题可以证明是NP难的。因此,我们将重点讨论一个看起来需要解决的问题(因为您提到了拓扑排序)——有向无环图(DAG)中的最长路径。我们还假设有两个节点s
和t
是我们的开始和结束节点。除非你能对你的图表做出某些假设,否则这个问题会更难看一些。如果您理解下面的文本,并且图形中的这些假设是正确的,那么您也许可以删除s
和t
限制(否则,您将不得不在图形中的每一对顶点上运行它!慢……)
算法的第一步是对顶点进行拓扑排序。直觉上这是有道理的。假设您从左到右排序(即最左边的节点将没有传入的边)。从s
到t
的最长路径通常从左侧开始,到右侧结束。这条路也不可能朝左走。这为您提供了生成最长路径的顺序--从左开始向右移动。
下一步是按顺序从左到右移动并为每个节点定义最长路径。对于没有传入边的任何节点,该节点的最长路径为0(根据定义,这是正确的)。对于任何有输入边的节点,递归地定义该节点的最长路径,在所有进入的边上都是最大的+最长路径到达“进入”邻居(注意,这个数字可能是负的,如果,例如,所有传入的边都是负的!)。直觉上这是有道理的,但证据也很简单:
假设我们的算法声称到某个节点的最长路径是v
,但实际的最长路径是一些d
。选择“最小”这样的节点(我们使用拓扑排序定义的顺序)。换句话说,我们选择算法失败的“最左边”节点。这一点很重要,这样我们就可以假设我们的算法已经正确地确定了d' > d
“左边”任何节点的最长路径。定义假设最长路径的长度为v
,其中v
是节点d' = d_1 + e
的假设路径长度,边d_1
到v_prev
(注意草率的命名)。边缘也有重量。我们可以这样定义它,因为任何到e
的路径都必须经过它的一个邻居,而这个邻居的边将变成v
(因为如果不通过某个到它的边到达那里,就无法到达e
)。那么e
必须是v
的最长路径(否则,就是矛盾。有一条较长的路径与我们选择的“最少”这样的节点相矛盾我们的算法会根据需要选择包含v
的路径。
要生成实际路径,您可以确定使用了哪条边。假设你已经重建了某个顶点的路径,该顶点的路径长度最长。然后遍历所有传入的顶点,找到路径长度最长的顶点,其中v
是进入d_1
的边的权重。在执行算法时,还可以跟踪节点的父节点。也就是说,当您找到v_prev
的最长路径时,将其父节点设置为所选的相邻节点。您可以使用简单的矛盾来说明为什么两种方法都生成最长路径。
最后是一些伪代码(抱歉,基本上是C#。在没有自定义类的情况下用C编写代码要复杂得多,而且我已经有一段时间没有用C编写代码了)。
public List<Nodes> FindLongestPath(Graph graph, Node start, Node end)
{
var longestPathLengths = Dictionary<Node, int>;
var orderedNodes = graph.Nodes.TopologicallySort();
// Remove any nodes that are topologically less than start.
// They cannot be in a path from start to end by definition
while (orderedNodes.Pop() != start);
// Push it back onto the top of the stack
orderedNodes.Push(start);
// Do algorithm until we process the end node
while (1)
{
var node = orderedNodes.Pop();
if (node.IncomingEdges.Count() == 0)
{
longestPathLengths.Add(node, 0);
}
else
{
var longestPathLength = Int.Min;
foreach (var incomingEdge in node.IncomingEdges)
{
var currPathLength = longestPaths[incomingEdge.Parent] +
incomingEdge.Weight);
if (currPathlength > longestPathLength)
{
longestPath = currPathLength;
}
}
longestPathLengths.Add(node, longestPath);
}
if (node == end)
{
break;
}
}
// Reconstruct path. Go backwards until we hit start
var node = end;
var longestPath = new List<Node>();
while (node != start)
{
foreach (var incomingEdge in node.IncomingEdges)
{
if (longestPathLengths[incomingEdge.Parent] ==
longestPathLengths[node] - incomingEdge.Weight)
{
longestPath.Prepend(incomingEdge.Parent);
node = incomingEdge.Parent;
break;
}
}
}
return longestPath;
}
v
的方式也很关键。例如,您的节点似乎没有
d_1 + e
属性。但是如果没有这些,找到每个节点的传入边是一种痛苦(而且没有表现出来!)。在我看来,图形算法在概念上不同于字符串和数组上的算法,因为实现非常重要!如果您阅读关于图形算法的wiki条目,您会发现它们通常会根据不同的实现(具有不同的数据结构)给出三到四个不同的运行时。如果你在乎速度
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