python - 如何用Python求解非线性三角方程组(MATLAB可以轻松求解)

Question

我正在尝试用 Python 求解非线性三角方程组。我尝试了以下方法:

from sympy import symbols,solve,sin,cos,pi, Eq

measurements = [(5.71403,0.347064), (4.28889, -0.396854), (5.78091, -7.29133e-05), 
(2.06098, 0.380579), (8.13321, 0.272391), (8.23589, -0.304111), (6.53473, 0.265354), (1.6023, 
0.131908)]

f, a, phi = symbols('f a phi')
eq1 = Eq(a*sin((2.0*pi*f*measurements[0][0])+phi) - measurements[0][1])
eq2 = Eq(a*sin((2.0*pi*f*measurements[4][0])+phi) - measurements[4][1])
eq3 = Eq(a*sin((2.0*pi*f*measurements[6][0])+phi) - measurements[6][1])
solve((eq1,eq2,eq3), (a, f, phi))

Python 需要很长时间才能尝试求解方程。但是，MATLAB 可以瞬间完成。

有什么问题？

Answer 1

在 SymPy 中，如果你想要数值解，你应该使用 nsolve:

In [97]: nsolve((eq1,eq2,eq3), (a, f, phi), [1, 1, 1])                                                                            
Out[97]: 
⎡-0.5538674055548 ⎤
⎢                 ⎥
⎢0.837453526933376⎥
⎢                 ⎥
⎣6.95538865037068 ⎦

这里我使用了 [1, 1, 1] 的初始猜测。如果您使用其他初始猜测，我相信您可以找到更多的解决方案(系统有无限多的解决方案)。

请注意，如果您将这些近似解代入方程式，您将得到 False。这是因为作为近似数的 lhs 和 rhs 不相等:

In [101]: eq1                                                                                                                     
Out[101]: a⋅sin(11.42806⋅π⋅f + φ) - 0.347064 = 0

In [102]: (sol,) = nsolve((eq1,eq2,eq3), (a, f, phi), [1, 1, 1], dict=True)                                                       

In [103]: sol                                                                                                                     
Out[103]: {a: -0.5538674055548, f: 0.837453526933376, φ: 6.95538865037068}

In [104]: eq1.subs(sol)                                                                                                           
Out[104]: False

In [105]: eq1.lhs.subs(sol)                                                                                                       
Out[105]: -0.347064 - 0.5538674055548⋅sin(6.95538865037068 + 9.57046915300624⋅π)

In [106]: eq1.lhs.subs(sol).evalf()                                                                                               
Out[106]: -1.29025679909939e-15

因为它不等于 rhs(为零)代入 Eq 将给出 False 但我们可以看到它是在四舍五入的顺序上错误。

使用 nsolve 的 prec 参数可以获得更多的精度:

In [107]: (sol,) = nsolve((eq1,eq2,eq3), (a, f, phi), [1, 1, 1], dict=True, prec=50)                                              

In [108]: sol                                                                                                                     
Out[108]: 
{a: -0.55386740555480009188439615822304411607289430639164, f: 0.83745352693337644862065403386504543698722276260565, φ: 6.9553886
503706758809942541544797040214354242211993}

In [109]: eq1.lhs.subs(sol).evalf()                                                                                               
Out[109]: -3.27785083138700e-51