python - 素数查找函数的优化

Question

经过 10 分钟的工作，我编写了如下所示的函数。它返回低于参数的所有素数的列表。为了尽可能快地实现此功能，我使用了所有已知的编程和数学技巧。要找到所有小于一百万的素数，大约需要 2 秒。

您认为有进一步优化它的可能性吗？有什么想法吗？

def Primes(To):
  if To<2:
    return []
  if To<3:
    return [2]
  Found=[2]
  n=3
  LastSqr=0
  while n<=To:
     k=0
     Limit=len(Found)
     IsPrime=True
     while k<Limit:
         if k>=LastSqr: 
            if Found[k]>pow(n,0.5): 
               LastSqr=k
               break
         if n%Found[k]==0:
            IsPrime=False
            break
         k+=1
     if IsPrime:
        Found.append(n)
     n+=1
  return Found

Answer 1

您可以使用一些技巧来加快速度，使用埃拉多色的基本筛法。一种是使用 Wheel Factorization跳过计算已知不是素数的数字。例如，除了 2 和 3 之外，所有素数都与 1 或 5 mod 6 全等。这意味着您根本不必处理每 6 个数字中的 4 个。

在下一级别，所有素数都与 1、7、11、13、17、19、23 或 29 的 mod 30 全等。您可以从每 30 个数字中丢出 22 个。

这是不计算或存储偶数的 Erastothenes 筛法的简单实现:

def basic_gen_primes(n):
    """Return a list of all primes less then or equal to n"""
    if n < 2:
        return []

    # The sieve.  Each entry i represents (2i + 1)
    size = (n + 1) // 2
    sieve = [True] * size

    # 2(0) + 1 == 1 is not prime
    sieve[0] = False

    for i, value in enumerate(sieve):
        if not value:
            continue

        p = 2*i + 1

        # p is prime.  Remove all of its multiples from the sieve
        # p^2 == (2i + 1)(2i + 1) == (4i^2 + 4i + 1) == 2(2i^2 + 2i) + 1
        multiple = 2 * i * i + 2 * i 
        if multiple >= size:
            break

        while multiple < size:
            sieve[multiple] = False
            multiple += p 

    return [2] + [2*i+1 for i, value in enumerate(sieve) if value]

如前所述，您也可以使用更奇特的筛子。