c - 自己的 asin() 函数(带泰勒级数)不准确

Question

我需要使用泰勒级数在没有 math.h 库的情况下编写自己的 asin() 函数。它适用于 <-0.98;0.98> 之间的数字，但当我接近极限时，它会停止 1604 次迭代，因此不准确。

我不知道如何让它更准确。非常感谢任何建议!

代码如下:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

#define EPS 0.000000000001

double my_arcsin(double x)
{
    long double a, an, b, bn;
    a = an = 1.0;
    b = bn = 2.0;
    long double n = 3.0;
    double xn;
    double xs = x;
    double xp = x;

    int iterace = 0;

    xn = xs + (a/b) * (my_pow(xp,n) / n);

    while (my_abs(xn - xs) >= EPS)
    {
        n += 2.0;
        an += 2.0;
        bn += 2.0;
        a = a * an;
        b = b * bn;

        xs = xn;
        xn = xs + (a/b) * (my_pow(xp,n) / n);
        iterace++;
    }

    //printf("%d\n", iterace);

    return xn;
}

int main(int argc, char* argv[])
{

    double x = 0.0;

    if (argc > 2)
        x = strtod(argv[2], NULL);
    if (strcmp(argv[1], "--asin") == 0)
    {
           if (x < -1 || x > 1)
               printf("nan\n");
           else
           {
               printf("%.10e\n", my_arcsin(x));
               //printf("%.10e\n", asin(x));
           }

        return 0;
    }
}

还有我的值(value)观和期望值的简短列表:

My values              Expected values        my_asin(x)
5.2359877560e-01       5.2359877560e-01       0.5
1.5567132089e+00       1.5707963268e+00       1      //problem
1.4292568534e+00       1.4292568535e+00       0.99   //problem
1.1197695150e+00       1.1197695150e+00       0.9
1.2532358975e+00       1.2532358975e+00       0.95

Answer 1

即使您使用的级数展开式的收敛半径为 1，因此级数最终会收敛到 -1 < x < 1，但在接近该区间的极限时收敛速度确实慢得令人痛苦。解决方案是以某种方式避免间隔的这些部分。

我建议你

• 对|x| 使用您的原始算法<= 1/sqrt(2),
• 使用恒等式 arcsin(x) = pi/2 - arcsin(sqrt(1-x^2)) for 1/sqrt(2) < x <= 1.0,
• 对 -1.0 <= x < -1/sqrt(2) 使用恒等式 arcsin(x) = -pi/2 + arcsin(sqrt(1-x^2))。

通过这种方式，您可以将输入 x 转换为 [-1/sqrt(2),1/sqrt(2)]，收敛速度相对较快。