python - 特征向量变换的差异 : Mathematica vs. SciPy

Question

以前在这里问过类似的问题，但似乎没有人回答我的例子。我使用 Mathematica 和 SciPy 计算矩阵 A 的特征值和特征向量；特征值一致，但特征向量并非如此:

(1) 最低(特征值)特征向量一致

(2) Mathematica 和SciPy 的其余对应特征向量不存在乘法关系

(3) 我可以使用外积计算将 SciPy 的特征向量发送到 Mathematica 的对应特征向量的变换矩阵 T

T = numpy.outer(MathematicaEigenvector, SciPyEigenvector)

这样

MathematicaEigenvector = numpy.dot(T, SciPyEigenvector)

我希望所有 SciPy-Mathematica 特征向量对的变换矩阵 T 都相同，因为T 只是将矩阵 inv(T).A.T 的特征向量与原始矩阵 A 的特征向量相关联的矩阵。然而，对每个特征向量对执行步骤 (2) 会给出不同的 T 矩阵。

谁能解释一下？如果需要，我可以发布矩阵。

更新:python代码和矩阵如下:

S = [[0., -1, -1, -1, 0, 0, -1, 0, 0], 
    [-1, 0., -1, 0, -1, 0, 0, -1, 0], 
    [-1, -1, 0., 0, 0, -1, 0, 0, -1], 
    [-1, 0, 0, 0., -1, -1, -1, 0, 0], 
    [0, -1, 0, -1, 0., -1, 0, -1, 0], 
    [0, 0, -1, -1, -1, 0, 0, 0, -1], 
    [-1, 0, 0, -1, 0, 0, 0., -1, -1], 
    [0, -1, 0, 0, -1, 0, -1, 0., -1], 
    [0, 0, -1, 0, 0, -1, -1, -1, 0.]];

eig_val,eig_vec = scipy.linalg.eig(S)
idx = eig_val.argsort()
eig_val = np.array(eig_val[idx])
eig_vec = np.array(eig_vec[:,idx])

Mathematica 特征向量是:

[-0.333333, -0.333333, -0.333333, -0.333333, -0.333333, -0.333333, -0.333333, -0.333333, -0.333333], 
[0.0385464, 0.570914,   0.371276, -0.570914, -0.0385464, -0.238184, -0.33273, 0.199638,   0.], 
[0.570246, -0.0269007, 0.197029,   0.0269007, -0.570246, -0.346316, 0.373217, -0.22393,   0.], 
[-0.0816497, 0.0816497, -0.489898, -0.0816497,   0.0816497, -0.489898, 0.408248, 0.571548,   0.], 
[-0.333333, -0.333333, 0.166667, -0.333333, -0.333333,   0.166667, 0.166667, 0.166667, 0.666667], 
[-0.288675, 0.288675,   2.498e-16, -0.288675, 0.288675, -1.94289e-16,   0.57735, -0.57735, 0.],
[-0.5, 0.5, -2.04678e-16, 0.5, -0.5,   2.41686e-16, -9.25186e-17, 5.55112e-17, 0.], 
[0.166667,   0.166667, -0.333333, 0.166667,   0.166667, -0.333333, -0.333333, -0.333333, 0.666667], 
[0.288675,   0.288675, -0.57735, -0.288675, -0.288675, 0.57735,   4.02456e-16, -2.08167e-16, 0.]

而 SciPy 特征向量是:

[-0.33333333 -0.33333333 -0.33333333 -0.33333333 -0.33333333 -0.33333333 -0.33333333 -0.33333333 -0.33333333]
[ 0.12054181 -0.17813781  0.50013951  0.08577902 -0.21290061  0.4653767 -0.2872389  -0.58591853  0.0923588 ]
[ 0.12191583 -0.21327897  0.26215377 -0.28683603 -0.62203084 -0.1465981 0.35987707  0.02468226  0.500115  ]
[ 0.66666667  0.16666667  0.16666667  0.16666667 -0.33333333 -0.33333333 0.16666667 -0.33333333 -0.33333333]
[-0.16604424 -0.59504716 -0.43689399  0.43294845  0.00394553  0.16209871 0.43294845  0.00394553  0.16209871]
[-0.01305419  0.07446538 -0.0614112  -0.54881726  0.36347168  0.18534558 0.56187145 -0.43793706 -0.12393438]
[-0.66666667  0.33333333  0.33333333  0.33333333 -0.16666667 -0.16666667 0.33333333 -0.16666667 -0.16666667]
[-0.21052033  0.65306873 -0.4425484   0.10526016 -0.32653437  0.2212742 0.10526016 -0.32653437  0.2212742 ]
[-0.02303417  0.0714558  -0.04842162  0.09679298  0.41311466 -0.50990763 -0.0737588  -0.48457045  0.55832926]
[ 4.67737437  0.12612917  0.75157798 -0.09378424  0.91674876  2.36234989 1.03706802 -9.0725069   0.        ]

以上均按特征值排序 [-4.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, 2.+0.j, 2. +0.j, 2.+0.j, 2.+0.j]

Answer 1

我认为原因如下:因为存在重复的特征值，所以变换矩阵 T 必须作用于该子空间中特征向量的线性组合，而不是单个特征值。也就是说，我的第一个代码片段应该修改为:

T = numpy.outer(MathematicaEigenvectorSubspace, SciPyEigenvectorSubspace)

我还没有通过找到使两个子空间等价的线性组合来检查这是否明确有效。