python - polyfit numpy的反向输出

Question

我使用了 numpy 的 polyfit 并获得了两个数组 x 和 y 的非常好的拟合(使用 7 阶多项式)。我的关系是这样的；

y(x) = p[0]* x^7 + p[1]*x^6 + p[2]*x^5 + p[3]*x^4 + p[4]*x^3 + p[5]*x^2 + p[6]*x^1 + p[7]

其中 p 是 polyfit 输出的多项式数组。

有没有办法很容易地逆转这个方法，所以我有一个解决方案，

x(y) = p[0]*y^n + p[1]*y^n-1 + .... + p[n]*y^0

Answer 1

1. 不，总的来说没有简单的方法。任意多项式的封闭形式解 are not available对于七阶多项式。

2. 反向拟合是可能的，但仅限于原始多项式的单调变化区域。如果原始多项式在您感兴趣的域上有最小值或最大值，那么即使 y 是 x 的函数，x 也不能是 y 的函数，因为它们之间没有一对一的关系。

3. 如果您 (i) 可以重做拟合程序，并且 (ii) 可以一次在拟合的单个单调区域上分段工作，那么您可以这样做:

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import numpy as np

# generate a random coefficient vector a
degree = 1
a = 2 * np.random.random(degree+1) - 1

# an assumed true polynomial y(x)
def y_of_x(x, coeff_vector):
    """
    Evaluate a polynomial with coeff_vector and degree len(coeff_vector)-1 using Horner's method.
    Coefficients are ordered by increasing degree, from the constant term at coeff_vector[0], 
        to the linear term at coeff_vector[1], to the n-th degree term at coeff_vector[n]
    """
    coeff_rev = coeff_vector[::-1]
    b = 0
    for a in coeff_rev:
        b = b * x + a
    return b


# generate some data
my_x = np.arange(-1, 1, 0.01)
my_y = y_of_x(my_x, a)


# verify that polyfit in the "traditional" direction gives the correct result
#     [::-1] b/c polyfit returns coeffs in backwards order rel. to y_of_x()
p_test = np.polyfit(my_x, my_y, deg=degree)[::-1]

print p_test, a

# fit the data using polyfit but with y as the independent var, x as the dependent var
p = np.polyfit(my_y, my_x, deg=degree)[::-1]

# define x as a function of y
def x_of_y(yy, a): 
    return y_of_x(yy, a)  


# compare results
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

plt.plot(my_x, my_y, '-b', x_of_y(my_y, p), my_y, '-r')

注意:此代码不检查单调性，而只是假设它。

通过研究 degree 的值，您应该看到当 degree=1< 时，see code 仅适用于 a 的所有随机值。它偶尔对其他度数也可以，但当有很多最小值/最大值时就不行了。对于 degree > 1，它永远不会完美，因为用平方根函数逼近抛物线并不总是有效，等等。