Python - 同情 : how to compute lie derivative

Question

请考虑以下脚本；我们如何使用 python 计算 h 关于 f 的李导数？

import sympy as sym

x, y, L, u , v = sym.symbols('x y L u v')
X = sym.Matrix([[x],[y], [L], [u], [v]])

# f(x,y,L,u,v) : R^5-->R^3
f = sym.Matrix([[ x + u], [ y + v ], [L]])

# h(x,y,L) : R^3-->R^1
h = sym.Matrix([[ sym.sqrt(L**2 + (y - x)**2) ]])

# L1hf : first-order lie derivative of h wrt f
L1hf = sym.diffgeom.LieDerivative(f,h) # ???

Answer 1

在使用 diffgeom 中的运算符时，您应该使用 sympy.diffgeom 中定义的符号。

您的设置可能如下所示:

In [1]: from sympy.diffgeom import *

In [4]: M = Manifold("M", 5)

In [5]: P = Patch("P", M)

In [6]: coord = CoordSystem("coord", P, ["x", "y", "L", "u", "v"])

In [7]: x, y, L, u, v = coord.coord_functions()

目前不支持矩阵，你必须将它们表示为基向量场的线性组合:

In [19]: e_x, e_y, e_L, e_u, e_v = coord.base_vectors()

然后将您导出的向量定义为分量和基本向量的总和:

In [27]: expr = (x + u)*e_x + (y + v)*e_y + L*e_L

In [28]: LieDerivative(expr, sqrt(L**2 + (y - x)**2))
Out[28]: 
                                                        2        
    (-x + y)⋅(x + u)      (-x + y)⋅(y + v)             L         
- ─────────────────── + ─────────────────── + ───────────────────
     ________________      ________________      ________________
    ╱         2    2      ╱         2    2      ╱         2    2 
  ╲╱  (-x + y)  + L     ╲╱  (-x + y)  + L     ╲╱  (-x + y)  + L  

更准确地说，您应该定义一个新的 3 维流形，然后在其上定义一个面片，然后在面片上定义一个坐标系，以表示 R^3 空间你项目。为简单起见，我使用同一流形上的投影以避免定义新流形。

注意:您可能需要最新版本的 SymPy(版本 1.0)，之前有一个错误阻碍了 diffgeom 对象的简化。