c - 为什么这段代码的时间复杂度是 O(n) 而不是 O(n^2)？

Question

为什么这里的时间复杂度不是 O(n^2) 而是 O(n)？第一次循环不就是n次吗，&第二次也是一样，所以就变成了O(n*n)，这里有什么问题吗？

void f(int n){

     for( ; n>0; n/=2){
         int i;
         for(i=0; i<n; i++){
             printf("hey");
         }
     }
}

Answer 1

Isn't the first loop is n times, & the same is the second one, so it becomes O(n*n).

以上说法是错误的，因为:

1. 外循环不运行n次。 (外层循环运行 O(log n) 次，但在本例中无关紧要。)
2. 对于内部循环，循环次数与n的值不同。变化。

为了得到这段代码的时间复杂度，我们应该统计内层循环体执行的总次数。

1. 很明显，内部循环体被执行了n次，对于 n 的每个值.
2. n 的值由 for 决定外循环语句。它从作为函数参数给出的值开始，每次执行外部循环体时减半。

正如评论中已经指出的那样，自n + n/2 + n/4 + n/8 + ... = 2n , 该算法的时间复杂度为 O(n) .

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有关此的一些更具体的数学证明:

求一个整数 k这样 2^(k-1) < n <= 2^k .为此 k :

1. 内循环总数的下限是1 + 2 + 4 + ... + 2^(k-1) = 2^k - 1 >= n - 1 ∈ Ω(n) .
2. 内循环总数的上限是1 + 2 + 4 + ... + 2^k = 2^(k+1) - 1 < 4n - 1 ∈ O(n) .

因此内循环的总数是Θ(n) ，以及 O(n) .