python - 球谐展开式的数值计算

Question

我试图了解球谐函数展开式以解决更复杂的问题，但我期望通过非常简单的计算得出的结果并不正确。我不知道为什么会这样。

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一些理论:众所周知，球体表面的函数 () 可以定义为一些常数系数的无限和 。和球谐函数 :

球谐函数定义为:

哪里 是相关的勒让德多项式。

最后，常数系数 可以计算如下(类似于傅立叶变换):

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问题: 假设我们有一个以 为中心的球体其中曲面上的函数等于 对于所有点 .我们要计算常数系数，然后通过近似计算回表面函数。自 常数系数的计算减少到:

在数值上(在 Python 中)可以使用以下方法进行近似:

def Ylm(l,m,theta,phi):
    return scipy.special.sph_harm(m,l,theta,phi)

def flm(l,m):
    phi, theta = np.mgrid[0:pi:101j, 0:2*pi:101j]
    return Ylm(l,m,theta,phi).sum()

然后，通过在 上计算带限和我期待看到 什么时候 对于任何给定点 .

L = 20
f = 0
theta0, phi0 = 0.0, 0.0
for l in xrange(0,L+1):
    for m in xrange(-l,l+1):
        f += flm(l,m)*Ylm(l,m,theta0,phi0)
print f

但对于 它给了我而不是 .对于 它给了我

我知道这似乎更像是一道数学题，但公式应该是正确的。问题似乎出在我的计算上。这可能是一个非常愚蠢的错误，但我无法发现它。有什么建议吗？

谢谢

Answer 1

球谐函数与内积正交

<f|g> = Integral( f(theta,phi)*g(theta,phi)*sin(theta)*dphi*dtheta)

所以你应该计算系数

  clm = Integral( Ylm( theta, phi) * sin(theta)*dphi*dtheta)