python - 使用Python计算使用五个点的唯一圆锥截面

Question

我正在尝试开发一个 Python 代码，它可以使用来自用户的一组五点输入告诉您中心、准线、焦点和任何唯一圆锥曲线的方程。

我目前正在 MacBook 上的 Sublime Text 上使用 Python2 运行代码，我已经安装了 Scipy、Numpy 和 Sympy。

用户输入五个点后，会出现五种不同的圆锥曲线通式，其标准形式为:

ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey +f = 0

然后在分别求解 a、b、c、d、e、f 之后，我们将得到一个类似于 x^2 - y = 0 的公式，这就是该唯一圆锥曲线的方程。

我正在使用 LUsolve，但是无论我输入什么，它给我的结果总是 [0,0,0,0,0,0]。请查看我的代码并帮助我解决这个问题，谢谢。

enter code here

import numpy as np
import scipy

class Point:
    def __init__(self, x, y):
        self.x = x
        self.y = y

    def __str__(self):
        rep = '(' + str(self.x) + ', ' + str(self.y) + ')'
        return rep

class Conic:                                                
    def __init__(self, points):                             
        self.points = points                                

    def equation(self):                                     # ...                               
        from sympy import symbols
        from sympy import Matrix, ImmutableMatrix
        from sympy.matrices import zeros
        from sympy.solvers import solve, nsolve, solveset
        x, y, z, v = symbols("x y z v")
        # you need symbols for x and y
        a, b, c, d , e, f = symbols('a b c d e f')
        xs = Matrix([a, b, c, d, e, f])
        l = [[x ** 2, x*y, y ** 2, x, y, 1]]
        #l = []

        for point in self.points: 
            l.append([point.x ** 2, point.x * point.y, point.y ** 2, point.x, point.y, 1])

        m = Matrix(l)
        v = m.det()

        soln = m.LUsolve(zeros(6, 1)) ###from scipy
        print(soln)
        return None

    def __str__(self):
    pass
    return None


from random import randint
points = [Point(-2, 4),
          Point(-1, 1),
          Point(0, 0),
          Point(1, 1),
          Point(2, 4)]
for point in points:
    print(point)
c = Conic(points)
c.equation()

结果在这里:

(-2, 4)
(-1, 1)
(0, 0)
(1, 1)
(2, 4)
Matrix([[0], [0], [0], [0], [0], [0]])

***Repl Closed***

Answer 1

我认为你得到零的原因是因为你正在用 zeros(6,1) 求解线性系统，在这种情况下，全零解是有效的。尝试将右侧设置为非零值。

另一个问题是，有五个点和六个未知数，解是欠定的。但是您可以将最后一个坐标固定为某个任意值并解决这个问题。

这是我的 Numpy 纯数值解决方案:

import numpy as np


def fivePointsToConic(points, f=1.0):
    """Solve for the coefficients of a conic given five points in Numpy array

    `points` should have at least five rows.

    `f` is the constant that you can specify. With the returned solution,
    `(a, b, c, d, e, f)`, the full conic is specified as:

    $a x^2 + b x y + c y^2 + d x + e y = -f$

    If `points` has exactly five rows, the equation will be exact. If `points`
    has *more* than five rows, the solution will be a least-squares one that
    fits the data the best.
    """
    from numpy.linalg import lstsq

    x = points[:, 0]
    y = points[:, 1]
    if max(x.shape) < 5:
        raise ValueError('Need >= 5 points to solve for conic section')

    A = np.vstack([x**2, x * y, y**2, x, y]).T
    fullSolution = lstsq(A, f * np.ones(x.size))
    (a, b, c, d, e) = fullSolution[0]
    return (a, b, c, d, e, f)


if __name__ == '__main__':
    points = np.array([[-2, 4.], [-1., 1], [0., 0], [1., 1], [2., 4]])
    print(fivePointsToConic(points))

假设 f = 1(使用符号 a 到 f 在 Wikipedia 上):

(0.62499999999999989, 9.7144514654701197e-17, -0.24999999999999983, -2.9598635688993528e-16, 0.62499999999999989, 1.0)

或大致为 [0.625, 0, -0.25, 0, 0.625, 1]。这符合您的预期吗？