python - 对称函数的 numpy.gradient 的分量不同

Question

对称函数的梯度应该在所有维度上具有相同的导数。numpy.gradient 提供不同的组件。

这是一个 MWE。

import numpy as np
x = (-1,0,1)
y = (-1,0,1)
X,Y = np.meshgrid(x,y)
f = 1/(X*X + Y*Y +1.0)

print(f)
>> [[0.33333333 0.5        0.33333333]
   [0.5        1.         0.5       ]
   [0.33333333 0.5        0.33333333]]

这在两个维度上具有相同的值。

但是 np.gradient(f) 给出了

[array([[ 0.16666667,  0.5       ,  0.16666667],
    [ 0.        ,  0.        ,  0.        ],
    [-0.16666667, -0.5       , -0.16666667]]),

 array([[ 0.16666667,  0.        , -0.16666667],
    [ 0.5       ,  0.        , -0.5       ],
    [ 0.16666667,  0.        , -0.16666667]])]

梯度的两个分量是不同的。

为什么会这样？我在解释输出时缺少什么？

Answer 1

让我们一步步过一遍。所以首先，正如 meowgoesthedog 正确提到的numpy 计算一个方向的导数。

Numpy计算梯度的方式

重要的是要注意 np.gradient 使用中心差异意义(为简单起见，我们只看一个方向):

grad_f[i] = (f[i+1] - f[i])/2 + (f[i] - f[i-1])/2 =  (f[i+1] - f[i-1])/2

在边界处numpy计算(以min为例)

grad_f[min] = f[min+1] - f[min]
grad_f[max] = f[max] - f[max-1]

在您的例子中，边界是 0 和 2。

二维案例

如果您使用多维，我们需要考虑导数的方向。 np.gradient 计算所有可能方向的导数。让我们重现您的结果:

让我们沿着列移动，因此我们使用行向量

进行计算

f[1,:] - f[0,:] 

输出

array([0.16666667, 0.5       , 0.16666667])

这正是渐变的第一个元素的第一行。

该行是用居中导数计算的，因此:

(f[2,:]-f[1,:])/2 + (f[1,:]-f[0,:])/2

输出

array([0., 0., 0.])

第三行:

f[2,:] - f[1,:] 

输出

array([-0.16666667, -0.5       , -0.16666667])

对于另一个方向，只需交换 : 和数字，并记住您现在正在计算列向量。在对称函数的情况下，这直接导致转置导数，就像您的情况一样。

3D案例

x_ = (-1,0,4)
y_ = (-3,0,1)
z_ = (-1,0,12)

x, y, z = np.meshgrid(x_, y_, z_, indexing='ij')
f = 1/(x**2 + y**2 + z**2 + 1)
np.gradient(f)[1]

输出

array([[[ *2.50000000e-01,  4.09090909e-01,  3.97702165e-04*],
        [ 8.33333333e-02,  1.21212121e-01,  1.75554093e-04],
        [-8.33333333e-02, -1.66666667e-01, -4.65939801e-05]],

       [[ **4.09090909e-01,  9.00000000e-01,  4.03045231e-04**],
        [ 1.21212121e-01,  2.00000000e-01,  1.77904287e-04],
        [-1.66666667e-01, -5.00000000e-01, -4.72366556e-05]],

       [[ ***1.85185185e-02,  2.03619910e-02,  3.28827183e-04***],
        [ 7.79727096e-03,  8.54700855e-03,  1.45243282e-04],
        [-2.92397661e-03, -3.26797386e-03, -3.83406181e-05]]])

此处给出的梯度是沿行计算的(0 将沿矩阵计算，1 沿行计算，2 沿列计算)。

这可以通过计算

(f[:,1,:] - f[:,0,:])

输出

array([[*2.50000000e-01, 4.09090909e-01, 3.97702165e-04*],
       [**4.09090909e-01, 9.00000000e-01, 4.03045231e-04**],
       [***1.85185185e-02, 2.03619910e-02, 3.28827183e-04***]])

我添加了星号，以便可以清楚地知道在哪里可以找到相应的行向量。由于我们计算了 1 方向的梯度，因此我们必须寻找行向量。

如果要重现整个渐变，这是通过

np.stack(((f[:,1,:] - f[:,0,:]), (f[:,2,:] - f[:,0,:])/2, (f[:,2,:] - f[:,1,:])), axis=1)

n-dim 情况

我们可以将我们学到的东西推广到这里来计算任意函数沿方向的梯度。

def grad_along_axis(f, ax):
    f_grad_ind = []
    for i in range(f.shape[ax]):
        if i == 0:
            f_grad_ind.append(np.take(f, i+1, ax) - np.take(f, i, ax))
        elif i == f.shape[ax] -1:
            f_grad_ind.append(np.take(f, i, ax) - np.take(f, i-1, ax))
        else:
            f_grad_ind.append((np.take(f, i+1, ax) - np.take(f, i-1, ax))/2)
    f_grad = np.stack(f_grad_ind, axis=ax)
    return f_grad

在哪里

np.take(f, i, ax) = f[:,...,i,...,:]

和 i 位于索引 ax。