python - 线性同余生成器——如何选择种子和统计检验

Question

我需要做一个线性同余生成器，它将成功通过选定的统计测试。

我的问题是:如何正确选择生成器的数字以及我应该选择哪些统计检验？

我想过:

1. 均匀性的卡方频率检验

   • 每种生成方法收集 10,000 个数字

   • 将[0.1) 分成10等分

2. Kolmogorov-Smirnov 均匀性检验

   • 由于 K-S 检验对较小的数字集效果更好，您可以使用为卡方频率检验生成的 10,000 个中的前 100 个

代码示例如下:

def seedLCG(initVal):
    global rand
    rand = initVal

def lcg():
    a = 1664525
    c = 1013904223
    m = 2**32
    global rand
    rand = (a*rand + c) % m
    return rand

seedLCG(1)

for i in range(1000):
    print (lcg())

在选择种子时，我考虑的是纳秒级，但我不知道如何实现它，它是否有意义？这个想法是为了表明所选择的种子是随机选择的，而不是从上限中选择的。

Answer 1

关于如何正确地为生成器选择数字，在 Wiki 页面中有 Hull–Dobell 定理的描述，它告诉您如何选择 a 和 c 来获得全周期发生器。您从 Numerical Recipes 中获得了数字，据我所知，您将获得完整周期 [0...2³²) 生成器。或者您可以查看 this paper 的品质因数，有 (a,c) 对可用于任意大小的周期。

关于测试，看看@pjs 提供的论文。

在选择种子时，我考虑的是纳秒级，但我不知道如何实现它，它是否有意义？这个想法是为了表明所选种子是随机选择的，而不是从上限中选择的。我认为这不是一个好主意，因为你不能保证你从 time/ceil/... 中挑选的种子不会重叠。 LCG 基本上是双射 [0...2³²)<->[0...2³²) 映射，并且相对容易重叠随机数流所以你的结果是相关的。

相反，我会建议使用 LCG 的另一个不错的属性 - 向前(和向后)对数跳跃。因此，为了模拟 N 核心，您可以只选择单个种子并在第一个代码上运行，相同的种子但跳过(N/2 ³² )第二个核心，种子和跳过( N/2³² * 2) 依此类推。

具有显式状态和跳过的 LCG 代码如下，Win10 x64，Python 3.7 Anaconda

import numpy as np

class LCG(object):

    UZERO: np.uint32 = np.uint32(0)
    UONE : np.uint32 = np.uint32(1)

    def __init__(self, seed: np.uint32, a: np.uint32, c: np.uint32) -> None:
        self._seed: np.uint32 = np.uint32(seed)
        self._a   : np.uint32 = np.uint32(a)
        self._c   : np.uint32 = np.uint32(c)

    def next(self) -> np.uint32:
        self._seed = self._a * self._seed + self._c
        return self._seed

    def seed(self) -> np.uint32:
        return self._seed

    def set_seed(self, seed: np.uint32) -> np.uint32:
        self._seed = seed

    def skip(self, ns: np.int32) -> None:
        """
        Signed argument - skip forward as well as backward

        The algorithm here to determine the parameters used to skip ahead is
        described in the paper F. Brown, "Random Number Generation with Arbitrary Stride,"
        Trans. Am. Nucl. Soc. (Nov. 1994). This algorithm is able to skip ahead in
        O(log2(N)) operations instead of O(N). It computes parameters
        A and C which can then be used to find x_N = A*x_0 + C mod 2^M.
        """

        nskip: np.uint32 = np.uint32(ns)

        a: np.uint32 = self._a
        c: np.uint32 = self._c

        a_next: np.uint32 = LCG.UONE
        c_next: np.uint32 = LCG.UZERO

        while nskip > LCG.UZERO:
            if (nskip & LCG.UONE) != LCG.UZERO:
                a_next = a_next * a
                c_next = c_next * a + c

            c = (a + LCG.UONE) * c
            a = a * a

            nskip = nskip >> LCG.UONE

        self._seed = a_next * self._seed + c_next


#%%
np.seterr(over='ignore')

a = np.uint32(1664525)
c = np.uint32(1013904223)
seed = np.uint32(1)

rng = LCG(seed, a, c)

print(rng.next())
print(rng.next())
print(rng.next())

rng.skip(-3) # back by 3
print(rng.next())
print(rng.next())
print(rng.next())

rng.skip(-3) # back by 3
rng.skip(2) # forward by 2
print(rng.next())

更新

生成 10k 个数字

np.seterr(over='ignore')

a = np.uint32(1664525)
c = np.uint32(1013904223)
seed = np.uint32(1)

rng = LCG(seed, a, c)
q = [rng.next() for _ in range(0, 10000)]