python - 创建和反转大型 Galois 域矩阵

Question

我有一个大小为 128x128 的矩阵。每个条目都是一个二进制字段元素(在我的用例中，只有 0 和 1)。我尝试在 matlab 中反转这个矩阵。我在 matlab 中找到了一些可以在此处执行有限域矩阵求逆的函数 http://www.mathworks.com/help/comm/galois-field-computations.html .

但是，这些内置函数仅支持最大 16x16 的矩阵大小。还有其他方法可以克服这个限制吗？我愿意使用其他工具，例如 python 或 C/C++。

如果您想尝试您的方法，这里是测试矩阵及其逆矩阵。

矩阵A[0,0,0,1,0,0,1,0;1,1,1,0,1,0,1,1;1,1,1,0,1,1,0,1;0 ,1,0,0,0,0,1,0;0,1,1,1,1,1,1,0;1,0,1,1,0,0,1,0;0,0 ,1,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1,0,0]

矩阵 A^-1[1,1,1,0,0,1,1,1;0,1,1,1,0,0,0,1;0,1,1,0,0,0,1,1;1 ,1,1,0,0,0,0,1;1,0,0,1,1,0,1,1;0,0,0,0,0,0,0,1;0,1 ,1,0,0,0,0,1;0,1,0,0,1,1,1,1]

Answer 1

可以通过执行 Gaussian elimination 来实现伽罗华域上的矩阵求逆。 (在 Galois 域中执行所有算术)[A | I]，结果是 [I | A^-1].

下面是一些执行高斯消元(行减少)的伪代码。

def row_reduce(A):
    A_rre = A.copy()
    p = 0  # The pivot

    for j in range(A.shape[1]):
        # Find a pivot in column `j` at or below row `p`
        idxs = np.nonzero(A_rre[p:,j])[0]
        if idxs.size == 0:
            continue
        i = p + idxs[0]  # Row with a pivot

        # Swap row `p` and `i`. The pivot is now located at row `p`.
        A_rre[[p,i],:] = A_rre[[i,p],:]

        # Force pivot value to be 1
        A_rre[p,:] /= A_rre[p,j]

        # Force zeros above and below the pivot
        idxs = np.nonzero(A_rre[:,j])[0].tolist()
        idxs.remove(p)
        A_rre[idxs,:] -= np.multiply.outer(A_rre[idxs,j], A_rre[p,:])

        p += 1
        if p == A_rre.shape[0]:
            break

    return A_rre

我有这个用例，但找不到完成此操作的 Python 库。所以我创建了一个 Python 包 galois在 Galois 域上扩展 NumPy 数组。它支持使用普通 np.linalg 函数的线性代数。

这是一个使用您的测试矩阵的示例。

In [1]: import numpy as np                                                                              

In [2]: import galois                                                                                   

In [3]: GF = galois.GF(2)                                                                               

In [4]: A = GF([[0,0,0,1,0,0,1,0],[1,1,1,0,1,0,1,1],[1,1,1,0,1,1,0,1],[0,1,0,0,0,0,1,0],[0,1,1,1,1,1,1,0
   ...: ],[1,0,1,1,0,0,1,0],[0,0,1,0,0,0,1,0],[0,0,0,0,0,1,0,0]]); A                                    
Out[4]: 
GF([[0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0],
    [1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1],
    [1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1],
    [0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0],
    [0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0],
    [1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0],
    [0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0],
    [0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0]], order=2)

In [5]: A_inv = np.linalg.inv(A); A_inv                                                                 
Out[5]: 
GF([[1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1],
    [0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1],
    [0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1],
    [1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1],
    [1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1],
    [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1],
    [0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1],
    [0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1]], order=2)

In [6]: A @ A_inv                                                                                       
Out[6]: 
GF([[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
    [0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
    [0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0],
    [0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0],
    [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1]], order=2)