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我正在尝试使用 SymPy 计算依赖于三角函数 sinc ( here ) 的函数的泰勒级数,为了简化我的问题,我们可以假设我需要的函数是 Taylor系列是:
f(x1, x2) = sinc(x1) * sinc(x2)
我的问题是,在导入 sympy.mpmath 时,我经常遇到错误:
cannot create mpf from ...
我尝试使用 taylor-series近似值或 this other solution (第一名),但他们似乎都失败了。例如,对于后面的替代行:
(sinc(x)*sinc(y)).series(x,0,3).removeO().series(y,0,3).removeO()
返回:
cannot create mpf from x
我也尝试过将函数定义为表达式和 lambda 函数。但似乎没有任何效果。
任何帮助将不胜感激。
最佳答案
这是我刚刚编写的用于 Sympy 的多元泰勒级数展开式:
def Taylor_polynomial_sympy(function_expression, variable_list, evaluation_point, degree):
"""
Mathematical formulation reference:
https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Supplemental_Modules_(Calculus)/Multivariable_Calculus/3%3A_Topics_in_Partial_Derivatives/Taylor__Polynomials_of_Functions_of_Two_Variables
:param function_expression: Sympy expression of the function
:param variable_list: list. All variables to be approximated (to be "Taylorized")
:param evaluation_point: list. Coordinates, where the function will be expressed
:param degree: int. Total degree of the Taylor polynomial
:return: Returns a Sympy expression of the Taylor series up to a given degree, of a given multivariate expression, approximated as a multivariate polynomial evaluated at the evaluation_point
"""
from sympy import factorial, Matrix, prod
import itertools
n_var = len(variable_list)
point_coordinates = [(i, j) for i, j in (zip(variable_list, evaluation_point))] # list of tuples with variables and their evaluation_point coordinates, to later perform substitution
deriv_orders = list(itertools.product(range(degree + 1), repeat=n_var)) # list with exponentials of the partial derivatives
deriv_orders = [deriv_orders[i] for i in range(len(deriv_orders)) if sum(deriv_orders[i]) <= degree] # Discarding some higher-order terms
n_terms = len(deriv_orders)
deriv_orders_as_input = [list(sum(list(zip(variable_list, deriv_orders[i])), ())) for i in range(n_terms)] # Individual degree of each partial derivative, of each term
polynomial = 0
for i in range(n_terms):
partial_derivatives_at_point = function_expression.diff(*deriv_orders_as_input[i]).subs(point_coordinates) # e.g. df/(dx*dy**2)
denominator = prod([factorial(j) for j in deriv_orders[i]]) # e.g. (1! * 2!)
distances_powered = prod([(Matrix(variable_list) - Matrix(evaluation_point))[j] ** deriv_orders[i][j] for j in range(n_var)]) # e.g. (x-x0)*(y-y0)**2
polynomial += partial_derivatives_at_point / denominator * distances_powered
return polynomial
这里是双变量问题的验证,遵循以下练习和答案:https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Supplemental_Modules_(Calculus)/Multivariable_Calculus/3%3A_Topics_in_Partial_Derivatives/Taylor__Polynomials_of_Functions_of_Two_Variables
# Solving the exercises in section 13.7 of https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Supplemental_Modules_(Calculus)/Multivariable_Calculus/3%3A_Topics_in_Partial_Derivatives/Taylor__Polynomials_of_Functions_of_Two_Variables
from sympy import symbols, sqrt, atan, ln
# Exercise 1
x = symbols('x')
y = symbols('y')
function_expression = x*sqrt(y)
variable_list = [x,y]
evaluation_point = [1,4]
degree=1
print(Taylor_polynomial_sympy(function_expression, variable_list, evaluation_point, degree))
degree=2
print(Taylor_polynomial_sympy(function_expression, variable_list, evaluation_point, degree))
# Exercise 3
x = symbols('x')
y = symbols('y')
function_expression = atan(x+2*y)
variable_list = [x,y]
evaluation_point = [1,0]
degree=1
print(Taylor_polynomial_sympy(function_expression, variable_list, evaluation_point, degree))
degree=2
print(Taylor_polynomial_sympy(function_expression, variable_list, evaluation_point, degree))
# Exercise 5
x = symbols('x')
y = symbols('y')
function_expression = x**2*y + y**2
variable_list = [x,y]
evaluation_point = [1,3]
degree=1
print(Taylor_polynomial_sympy(function_expression, variable_list, evaluation_point, degree))
degree=2
print(Taylor_polynomial_sympy(function_expression, variable_list, evaluation_point, degree))
# Exercise 7
x = symbols('x')
y = symbols('y')
function_expression = ln(x**2+y**2+1)
variable_list = [x,y]
evaluation_point = [0,0]
degree=1
print(Taylor_polynomial_sympy(function_expression, variable_list, evaluation_point, degree))
degree=2
print(Taylor_polynomial_sympy(function_expression, variable_list, evaluation_point, degree))
对结果执行 simplify()
会很有用。
关于python - 用sympy计算多元函数的泰勒级数,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/23803320/
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我是一名优秀的程序员,十分优秀!