c - C 中的 Neville 算法

Question

我正在尝试实现 Neville's algorithm .

我有 32 个点代表 sin(x) 函数:

int N=32,Nx=10000;
step = 1.0 / (N-1);
for (ii = 0; ii < N; ii++){ 
    px[ii] = ii*step*PI;
    py[ii] = sin(px[ii]);}

我有一个用于计算多项式的输入 vector :

for (ii = 0; ii < Nx; ii++)
   x[ii] = 2.0 * rand() / (double) RAND_MAX; // 0 < x[ii] <= 2

这是我的 Neville 积木:

double y[Nx];
for (kk=0;kk<Nx;kk++){// for each x[]'s element
    for (jj=1;jj<N-1;jj++){
        for (ii=0;ii<N-1-jj;ii++)
           s[ii]=(((px[jj]-x[kk])*py[ii])+((x[kk]-px[ii])*py[ii]))/(px[jj]-px[ii]);
    }
y[kk]=s[0];//insert in the output array the value just calculated
}

问题是s[ii]，我不确定这个计数是否正确。

Answer 1

对于 Neville 的方法，您需要选择一个 x 值来近似 f(x)，这与 x 数组的值不同。我不确定您使用的是哪个 x 值，但据我所知，您可能试图使用 x[] 数组中的所有值。

我不确定您的实现是否需要一维输出数组，但这是一个使用 this algorithm 的示例实现带有二维输出数组。

该示例使用问题 1。 a. 来自同一页面:

int i, j;
int n = 4;
double X; //X will be used to approximate f(X).
double x[n]; //The x values.
double y[n]; //The y or f(x) values.
double Q[n][n]; //The output table.

for (i = 0; i < n; i++)
    for (j = 0; j < n; j++)
        Q[i][j] = 0.0; //Initializing the Q matrix to 0.

//Hardcoding the x and y values from problem 1. a.
x[0] = 8.1;
x[1] = 8.3;
x[2] = 8.6;
x[3] = 8.7;
y[0] = 16.94410;
y[1] = 17.56492;
y[2] = 18.50515;
y[3] = 18.82091;

X = 8.4; //Want to approximate f(X), or f(8.4).

for (i = 0; i < n; i++)
    Q[i][0] = y[i]; //Setting the first column of Q to y[0] through y[3].

//Neville's method.
for (i = 1; i < n; i++) {
    for (j = 1; j <= i; j++) {
        Q[i][j] = ((X - x[i - j])*(Q[i][j - 1]) 
                        - (X - x[i])*(Q[i - 1][j - 1]))/(x[i] - x[i - j]);
    }
}

printf("Resultant Q matrix:\n");
for (i = 0; i < n; i++) {
    for (j = 0; j < n; j++) {
        printf("%9f ", Q[i][j]);
    }
    printf("\n");
}

答案 f(8.4) 是表格中最右下角的数字 17.877143。这是合理的，因为 f(8.3) = 17.56492 和 f(8.6) = 18.50515，而 17.877143 介于这两个值之间。