python - 使用 numpy.fft 的时间带宽积(高斯宽度)

Question

我想使用 Python 将模拟激光脉冲从时域傅里叶变换到频域。我从高斯函数开始，因为众所周知“时间带宽积”(时域宽度乘以频域宽度)是0.44。 ，当宽度根据高斯分布的半最大值全宽定义时。

但是，当使用 numpy.fft.fft 时，我发现时间带宽积是 0.88，是应该的两倍。

这是我的代码(前几行中的最小示例，其余只是绘图):

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

fwhm = 40e-15 # using a 40 femtosecond pulse

t  = np.linspace(-500e-15, 500e-15, 2000)
Et = np.exp( -t**2 / (2*(fwhm / 2.35482)**2) ) # gaussian function

Ef = np.abs(np.fft.fftshift( np.fft.fft(Et) )) # take the fourier transform
f  = np.fft.fftshift( np.fft.fftfreq(Ef.shape[0],t[1]-t[0]) ) # generate the frequencies

fwhm_fft = 2 * np.abs( f[ np.argmin(np.abs(0.5*np.max(Ef)-Ef)) ] ) # find the fwhm of the frequnecy-domain signal

print 'Observed time-bandwidth product: %.3f'%(fwhm*fwhm_fft)

# just making plots from here onwards:
fig, axs = plt.subplots(2,1, figsize=(6,8))

axs[0].set_title('Time domain')
axs[0].plot(t,Et)
axs[0].axvline(-fwhm*0.5, color='r', alpha=0.5, label='Full-width at half-maximum (FWHM) = %.1f fs'%(fwhm*1e15))
axs[0].axvline( fwhm*0.5, color='r', alpha=0.5)

axs[0].set_ylim(0,1.3)
axs[0].set_xlabel('Time (sec)')

axs[1].set_title('Frequency domain')
axs[1].plot(f,Ef)

axs[1].axvline(-0.44/fwhm*0.5, color='r', alpha=0.5, label='FWHM should be %.1f THz'%(0.44/fwhm*1e-12) )
axs[1].axvline( 0.44/fwhm*0.5, color='r', alpha=0.5)

axs[1].axvline(-fwhm_fft*0.5, color='g', alpha=0.5, label='FWHM is actually %.1f THz'%(fwhm_fft*1e-12) )
axs[1].axvline( fwhm_fft*0.5, color='g', alpha=0.5)

axs[1].set_xlim(-5e13,5e13)
axs[1].set_ylim(0,120)
axs[1].set_xlabel('Frequency (Hz)')

for ax in axs:
    ax.legend(fontsize=10)
    ax.set_ylabel('Electric field intensity (arbitrary units)')

plt.tight_layout()
plt.savefig('time-bandwidth-product.png', dpi=200)
plt.show()

Answer 1

@PaulPanzer 走在正确的轨道上!在比较两个高斯函数的 FWHM 时，我们确实希望找到 0.88 作为时间带宽积。

但为什么大多数引用文献 [1 , 2 , 3]说 0.44 是激光脉冲的时间带宽积？关键是我们实际观察到的是电场(E)的强度(I)，其中I=E^2。因此，实际上，比较强度 分布的宽度最有意义，而不是电场 分布。当我们比较强度分布时，我们发现时间带宽积确实是0.44。

修改后的代码:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

fwhm = 40e-15 # using a 40 femtosecond pulse

t  = np.linspace(-1000e-15, 1000e-15, 4000)
It = np.exp( -t**2 / (2*(fwhm / 2.35482)**2) ) # Intensity in the time domain
Et = np.sqrt(It)                               # E-field in the time domain

Ef = np.abs(np.fft.fftshift( np.fft.fft(Et) )) # FT to get E-field in frequency domain
If = Ef**2                                     # Intensity in the frequnecy domain
f  = np.fft.fftshift( np.fft.fftfreq(Ef.shape[0],t[1]-t[0]) ) # generate the frequencies

fwhm_fft = 2 * np.abs( f[ np.argmin(np.abs(0.5*np.max(If)-If)) ] ) # find the fwhm of the frequency-domain signal

print 'Observed time-bandwidth product: %.3f'%(fwhm*fwhm_fft)


# just making plots from here onwards:
fig, axs = plt.subplots(2,1, figsize=(6,8))

axs[0].set_title('Time domain')
axs[0].plot(t,It)
axs[0].axvline(-fwhm*0.5, color='r', alpha=0.5, label='Full-width at half-maximum (FWHM) = %.1f fs'%(fwhm*1e15))
axs[0].axvline( fwhm*0.5, color='r', alpha=0.5)

axs[0].set_xlim(-150e-15, 150e-15)
axs[0].set_ylim(0,1.3)
axs[0].set_xlabel('Time (sec)')

axs[1].set_title('Frequency domain')
axs[1].plot(f,If)

axs[1].axvline(-0.44/fwhm*0.5, color='r', alpha=0.5, label='FWHM should be %.1f THz'%(0.44/fwhm*1e-12) )
axs[1].axvline( 0.44/fwhm*0.5, color='r', alpha=0.5)

axs[1].axvline(-fwhm_fft*0.5, color='g', alpha=0.5, ls='dashed', label='FWHM is actually %.1f THz'%(fwhm_fft*1e-12) )
axs[1].axvline( fwhm_fft*0.5, color='g', alpha=0.5, ls='dashed')

axs[1].set_xlim(-2.0e13,2.0e13)
axs[1].set_ylim(0,30000)
axs[1].set_xlabel('Frequency (Hz)')

for ax in axs:
    ax.legend(fontsize=10)
    ax.set_ylabel('Electric field intensity (arbitrary units)')

plt.tight_layout()
plt.savefig('time-bandwidth-product.png', dpi=200)
plt.show()

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