python - 使用给定数据点曲线拟合 Python 中的指数衰减函数

Question

借助 SciPy 中的 curve_fit 函数，我能够确定代表下图中所示曲线的系数。

def func2(t, tau):
    return np.exp(-t / tau)

t2 = np.linspace(0, 4, 50)
y2 = func2(t2, 1.2)

y2_noise = 0.2 * np.random.normal(size=t2.size)
y2_curve_noise = y2 + y2_noise

popt2, pcov2 = curve_fit(func2, t2, y2_curve_noise)

tau2, = popt2
y2_fit = func2(t2, tau2)

我想用类似的函数来表示一些数据点。但是，我无法使用这种方法来拟合数据点，如下所示。

def func4(t, a, tau, c):
    return a * np.exp(-t / tau) + c

t4 = np.array([15445.1, 15445.6, 15446.1, 15446.6, 15447.1, 15447.6, 15448.1,
               15448.6, 15449.1, 15449.6, 15450.1, 15450.6, 15451.1, 15451.6,
               15452.1, 15452.6, 15453.1, 15453.6, 15454.1, 15454.6, 15455.1,
               15455.6, 15456.1, 15456.6, 15457.1, 15457.6, 15458.1, 15458.6,
               15459.1, 15459.6, 15460.1, 15460.6, 15461.1, 15461.6, 15462.1,
               15462.6, 15463.1, 15463.6, 15464.1, 15464.6, 15465.1, 15465.6,
               15466.1, 15466.6, 15467.1, 15467.6, 15468.1, 15468.6, 15469.1,
               15469.6, 15470.1, 15470.6, 15471.1, 15471.6, 15472.1, 15472.6,
               15473.1, 15473.6, 15474.1])

y4 = np.array([4.129, 4.125, 4.123, 4.121, 4.119, 4.118, 4.116, 4.115, 4.114,
               4.113, 4.112, 4.11, 4.11, 4.109, 4.108, 4.108, 4.106, 4.105,
               4.105, 4.104, 4.103, 4.102, 4.102, 4.101, 4.1, 4.1, 4.099,
               4.098, 4.098, 4.097, 4.097, 4.096, 4.095, 4.095, 4.094, 4.094,
               4.093, 4.092, 4.092, 4.091, 4.091, 4.09, 4.09, 4.089, 4.089,
               4.088, 4.088, 4.087, 4.087, 4.086, 4.086, 4.085, 4.085, 4.084,
               4.084, 4.084, 4.083, 4.083, 4.082])

popt4, pcov4 = curve_fit(func4, t4, y4, p0=(4.129, 1.2, 4.082))

a4, tau4, c4 = popt4
y4_fit = func4(t4, a4, tau4, c4)

如何在 SciPy 中应用 curve_fit 来拟合数据点？或者我应该使用不同的曲线拟合方法吗？我也不确定初始猜测使用什么值 p0。我只是根据数据选择了一些数字，但显然这对拟合没有帮助。

Answer 1

问题是 exp(-15000) 必须用大得离谱的 a 值来平衡，问题变得非常严重，所以优化例程失败。

规范化 t 使它们从 0 变为 1 有助于解决缩放问题。合理的初始猜测可以是:tau 为 1，c 为最小 y 值，a 为最大和最小 y 值之差。

t4_norm = (t4 - t4[0])/(t4[-1] - t4[0])   # normalized

c_0 = y4[-1]
tau_0 = 1
a_0 = (y4[0] - y4[-1])

popt4, pcov4 = curve_fit(func4, t4_norm, y4, p0=(a_0, tau_0, c_0))

a4, tau4, c4 = popt4
y4_fit = func4(t4_norm, a4, tau4, c4)
plt.plot(t4, y4, 'r.')
plt.plot(t4, y4_fit, 'b')
plt.show()

找到参数后，可以根据原来的t重新计算。的确，目前得到的曲线是

y = a*exp(- (t4 - t4[0])/(t4[-1] - t4[0]) / tau) + c

可以重写为

y = a*exp(t4[0]/(t4[-1] - t4[0]) / tau) * exp(-t4/(t4[-1] - t4[0]) / tau) + c

这意味着原始变量的参数是

a_orig = a*exp(t4[0]/(t4[-1] - t4[0]) / tau)
tau_orig = (t4[-1] - t4[0]) * tau
c_orig = c