python - 如何在反向传播算法中使用链式法则的结果中的矩阵相乘

Question

我想了解反向传播在数学上是如何工作的，并想用 numpy 在 python 中实现它。我使用带有一个隐藏层的前馈神经网络进行计算，sigmoid 作为激活函数，均方误差作为误差函数。这是我计算结果的截图: ，问题是有一堆矩阵，我不能将它们完全相乘，因为它们的维度不同。(截图中L为输出层，L-1为隐藏层，L-2为输入层，W为权重，E为误差函数，小写A为激活)

(代码中第一层有28*28个节点，[因为我用的是0-9位数字的MNIST数据库作为训练数据]，隐藏层15个节点，输出层10个节点)。

# ho stands for hidden_output
# ih stands for input_hidden

def train(self, input_, target):
    self.input_ = input_
    self.output = self.feedforward(self.input_)

    # Derivative of error with respect to weight between output layer and hidden layer
    delta_ho = (self.output - target) * sigmoid(np.dot(self.weights_ho, self.hidden), True)) * self.hidden

    # Derivative of error with respect to weight between input layer and hidden layer
    delta_ih = (self.output - target) * sigmoid(np.dot(self.weights_ho, self.hidden), True)) * self.weights_ho * sigmoid(np.dot(self.weights_ih, self.input_), True) * self.input_

    # Adjust weights
    self.weights_ho -= delta_ho
    self.weights_ih -= delta_ih

在 delta_ho = ... 行，矩阵的维度是 (10x1 - 10x1) * (10x1) * (1x15) 那么我该如何计算这？感谢您的帮助!

Answer 1

这是来自斯坦福大学 CS231 的注释:http://cs231n.github.io/optimization-2/ .

对于矩阵/向量的反向传播，要记住的一件事是梯度 w.r.t. (相对于)变量(矩阵或向量)始终具有与变量相同的形状。

比如loss​​为l，在loss的计算中有一个矩阵乘法运算:C = A.dot(B)。假设 A 的形状为 (m, n) 并且 B 的形状为 (n, p)(因此 C 的形状为 (m, p))。梯度 w.r.t. C 是 dC，它的形状也是 (m, p)。要使用 dC 和 B 获得形状为 A 的矩阵，我们只能 dC.dot(B.T)是(m, p)和(p, n)两个形状矩阵相乘得到dA，梯度损失 w.r.t. A。类似地，损失 w.r.t. 的梯度。 B 是 dB = A.T.dot(dC)。

对于任何添加的操作，例如 sigmoid，您可以像其他任何地方一样将它们向后链接。