python - sympy 在不使用 rsolve 的情况下计算第 n 次重复

Question

我正在编写一个必须解决某些递推关系的应用程序，但有些关系无法使用 sympy 的 rsolve 方法解析解决>。它只返回 None。有没有办法强制 sympy 以数字方式解决它们？

我有这样的东西:

from sympy import *

ctx = {
  "f": Function("f"),
  "x": var("x",integer=True)
}

initial_conditions = {
    0: 1,
    1: 1,
    2: 1,
    3: 1
}

f = sympify("-2*f(x-1)+11*f(x-2)+12*f(x-3)-36*f(x-4) +41**(x-4)+3 -f(x)", ctx)

# calculate f(10) here without creating a closed from
# The code below will not work rsolve returns None
solve_for = sympify("f(x)", ctx)
solved = rsolve(f, solve_for, initial_conditions)

我希望有人能帮助我!

Answer 1

这是我用数字评估递归关系的解决方案。当您将递归关系指定为简化的输入时，请确保值 f(x) 不是字符串的一部分。也就是说，如果你的递推关系是

f(x) = -2*f(x-1)+11*f(x-2)+12*f(x-3)-36*f(x-4) +41**(x-4)+3

你的输入字符串应该是:

"-2*f(x-1)+11*f(x-2)+12*f(x-3)-36*f(x-4) +41**(x-4)+3"

此外，此解决方案仅限于线性递推关系，但也可扩展到其他情况。

代码所做的是遍历递归关系的语法树，并通过数值计算或查找 f(x) 的已知值来评估每个节点。

from sympy import *
import operator
ctx = {
  "f": Function("f"),
  "x": var("x",integer=True)
}

initial_conditions = {
    0: 1,
    1: 1,
    2: 1,
    3: 1
}

func1 = sympify("-2*f(x-1)+11*f(x-2)+12*f(x-3)-36*f(x-4) +41**(x-4)+3", ctx)



def contains_function(f):
    if issubclass(type(f),Function):
        return True
    r = map(contains_function,f.args)
    return (sum(r) != 0)


def get_numeric_value(arg):

    if arg.is_number:
        if arg.is_integer:
            return int(arg)

        else:
            return float(arg)    
    else:
        return None

def evaluate_at(f, n, initial_conditions):


    if f.is_Add:
        result = 0
        op = operator.add
    elif f.is_Mul:
        result = 1
        op = operator.mul
    elif f.is_Function:
        func_arg = f.args[0]
        func_arg_val = int(func_arg.subs(func_arg.free_symbols.pop(),n))
        if not func_arg_val in initial_conditions:
            return None
        else:
            return initial_conditions[func_arg_val]

    else:
        return None

    for arg in f.args:
        if arg.is_number:
            result= op(result, get_numeric_value(arg))
        elif contains_function(arg):
            r = evaluate_at(arg,n,initial_conditions)
            if r:
                result=op(result,r)
            else:
                return None
        else:
            result =op(result,get_numeric_value(arg.subs(arg.free_symbols.pop(),n)))


    return result


known_values = dict(initial_conditions)
for n in range(4,11):
    known_values[n]  = evaluate_at(func1,n,known_values)