Python:两个高斯与 np.convolve 卷积的结果函数的大小

Question

我有兴趣优化一个函数，它是两个函数的卷积。主要问题是我得到的函数完全是规模化的，我不明白 np.convolve 到底做了什么。

我写了一个应该对两个高斯函数进行卷积的小脚本，但是生成的高斯函数比输入函数大得多:

from scipy.interpolate import interp1d
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np


# https://stackoverflow.com/questions/18088918/combining-two-gaussians-into-another-guassian
def gauss(x, p): # p[0]==mean, p[1]==stdev, p[2]==heightg, p[3]==baseline                   
    a = p[2]
    mu = p[0]
    sig = p[1]
    #base = p[3]
    return a * np.exp(-1.0 * ((x - mu)**2.0) / (2.0 * sig**2.0)) #+ base

p0 = [0, 0.3, 1] # Inital guess is a normal distribution
p02 = [0, 0.2, 0.5]


xp = np.linspace(-4, 4, 2000)
convolved = np.convolve(gauss(xp, p0),gauss(xp, p02), mode="same")


fig = plt.figure()



plt.subplot(2, 1, 1)

plt.plot(xp, gauss(xp, p0), lw=3, alpha=2.5)
plt.plot(xp, gauss(xp, p02), lw=3, alpha=2.5)
plt.xlim([-2, 2])

plt.subplot(2, 1, 2)
plt.plot(xp, gauss(xp, p0), lw=3, alpha=2.5)
plt.plot(xp, gauss(xp, p02), lw=3, alpha=2.5)
plt.plot(xp, convolved, lw=3, alpha=2.5,label="too damn high?")
plt.legend()
plt.xlim([-2, 2])

plt.tight_layout()
plt.show()

卷积后得到的高斯高很多

超出我的预期(维基百科):

Answer 1

您必须重新归一化两个 x 刻度之间的 dx。

Numpy 用积分代替求和，但由于函数仅采用 Y 值，因此它不关心积分轴上需要手动包含的体积元素。
我也不得不处理这个问题，当你开始用 dx=1 做事情时，这很痛苦，然后突然间你得到一个错误的结果，因为不同的 x 轴分布。

xp = np.linspace(-4, 4, 2000)
dx = xp[1] - xp[0]
convolved = np.convolve(gauss(xp, p0),gauss(xp, p02), mode="same") * dx

!!注意:不要将重规范化放在函数定义中。 dx 应该只计算一次，因为积分进入求和。如果将它放在函数中，它实际上会被计算两次，因为 bot gaussian 是使用它生成的。

PS:为了更好地理解这一点，您可以尝试生成具有不同间距的 x 轴数据，并且在不进行重新归一化的情况下，您会发现卷积的高度会有所不同(间距越小，高度越大)

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
for spacing in (100,500,1000,2000):
    spacing += 1
    xp = np.linspace(-4, 4, spacing)
    dx = xp[1] - xp[0]
    convolved = np.convolve(gauss(xp, p01),gauss(xp, p02), mode="same") * dx
    ax.plot(xp, convolved, lw=3, alpha=2.5,label="spacing = {:g}".format(8/spacing))

ax.set_title("Convolution with different x spacing. With renormalization")
fig.legend()
plt.show()