python - 如何在 FiPy 中编写带有自变量的方程项？

Question

我正在寻找使用 FiPy 求解扩散方程并阅读了他们的一些文档，但似乎找不到任何与编写包含作为自变量函数的附加项的扩散项相关的内容(即空间).我找到的最接近的东西是 FAQ ，他们建议将附加项重写为 ConvectionTerm。但是，我认为这仅适用于附加项是解变量而不是自变量的函数的情况。例如，我正在尝试用以下扩散项求解一维扩散方程(其中导数是自变量 x 的 w.r.t.，y 是解变量):

D * sin(x) * Div_x {sin(x) * Grad_x {y}}

我觉得这是一个非常简单的表达式，但我找不到如何用 FiPy 表示法来表达它。任何帮助将不胜感激!

确切代码:

from fipy import Variable,FaceVariable,CellVariable,Grid1D,ImplicitSourceTerm,TransientTerm,DiffusionTerm,Viewer,ConvectionTerm
from fipy.tools import numerix

D = 1
c0 = 1
ka = 1
r0 = 1

nx = 100
dx = 2*math.pi/100
mesh = Grid1D(nx=nx, dx=dx)
conc = CellVariable(name="concentration", mesh=mesh, value=0.) # This is the "phi" in the docs
valueLeft = c0
valueRight = 0
conc.constrain(valueRight, mesh.facesRight)
conc.constrain(valueLeft, mesh.facesLeft)
timeStepDuration = 0.9 * dx**2 / (2 * D)
steps = 100
show_per_steps = 50

A = 1 / (r0**2 * numerix.sin(mesh.x)[0])
dA = -(numerix.cos(mesh.x)[0])/(r0**2 * numerix.sin(mesh.x)[0]**2)
dsindA = (numerix.cos(mesh.x)[0])**3/(numerix.sin(mesh.x)[0])**2
eqX = TransientTerm() + ImplicitSourceTerm(ka) == DiffusionTerm(D*A*numerix.sin(mesh.x)[0]) - ConvectionTerm(D*dA*numerix.cos(mesh.x)[0])+ D*conc*dsindA

from builtins import range
for step in range(steps):
    eqX.solve(var=conc, dt=timeStepDuration)
    if __name__ == '__main__' and step % show_per_steps == 0:
        viewer = Viewer(vars=(conc), datamin=0., datamax=c0)
        viewer.plot()

Answer 1

FiPy 允许项的系数是空间的函数。例如，以下在 FiPy 中的工作，

from fipy import Grid1D, CellVariable, Viewer
from fipy import TransientTerm, numerix, DiffusionTerm
from fipy import LinearLUSolver

m = Grid1D(nx=100, Lx=numerix.pi / 4.)

v = CellVariable(mesh=m)
v[:] = m.x**2

eqn = TransientTerm() == DiffusionTerm(numerix.sin(m.x))
vi = Viewer(v, colorbar=None)
vi.plot()
solver = LinearLUSolver()
for i in range(10):
    eqn.solve(v, dt=0.1, solver=solver)
    vi.plot()
    print('step', i)

input('stopped')

在上面，扩散系数是空间的函数。 m.x 是一个保存单元格中心位置的 CellVariable。 numerix 用于启用对 FiPy 变量的操作，其方式与 Numpy 对 Numpy 数组的操作方式相同。

现在，在上面的问题中，导数之外有一个 sin(x)，这在 FiPy 中是不允许的。一切都需要适合导数内部才能与 FiPy 一起工作。因此，我们需要重写该项，以便所有系数都在导数内。对于任何一般情况，我们可以写

这允许我们使用扩散、对流和源来表示 FiPy 中的术语。如果 f=sin(x) 和 g=sin(x) 那么 FiPy 代码将是

s = numerix.sin(m.cellCenters)
c = numerix.cos(m.cellCenters)
eqn = ... + DiffusionTerm(D * s[0] * s[0]) - ConvectionTerm(D * s * c) + D * y * (c[0] * c[0] - s[0] * s[0])

因为我不知道完整的等式，所以包含了 ...。