c - FFTW 库 : verifying fourier transform derivative property

Question

我正在尝试验证与 fftw 库的这种关系:

因此，我选择f作为高斯分布，计算其导数的傅里叶变换，并将其与高斯乘以ik的傅里叶变换进行比较。这是我得到的:

这很奇怪，尤其是因为高斯导数的傅里叶变换图(即红色的)在原点处不是 0，而它应该是(我检查了解析的)。

代码对我来说似乎没问题，无论如何它在这里(我使用的是 C):

int main() {

    int i, N = 100;
    double v[N], x[N], k[N/2+1], vd[N];
    double dx = 2*pi/N, dk=2*pi/(N*dx), tmp;
    fftw_complex *out;
    fftw_plan forward,inverse;

    out = ( fftw_complex* )fftw_malloc( sizeof( fftw_complex )*( N/2 + 1 )); 


    forward = fftw_plan_dft_r2c_1d(N, v, out, FFTW_ESTIMATE);
    inverse = fftw_plan_dft_c2r_1d(N, out, vd, FFTW_ESTIMATE);

    //Initialise arrays 

    for( i = 0; i < N; i++ ) {   
            x[i] = dx*i;
            v[i] = -2*x[i]*exp( -pow( x[i], 2) );

            printf( " %le %le \n ", x[i], v[i] );
    }  


    for( i = 0; i < N; i++ ) {
       k[i]=i*dk;
    }

    k[N/2]=0.;

    //Compute fft
    fftw_execute( forward ); 

    //Print the results

    for( i = 0; i < N/2 + 1 ; i++ ) {
        printf( "%le %le %le \n", i*dk, out[i][0], out[i][1] );
    }

    //Multiply by ik 

    for( i = 0; i < ( N/2 + 1 ); i++ ) {

            tmp=out[i][0];
            out[i][0]=-k[i]*out[i][1];
            out[i][1]=k[i]*tmp;

            printf( "%le %le %le \n", i*dk, out[i][0], out[i][1] );

    }

    fftw_destroy_plan(forward);
    fftw_destroy_plan(inverse);
    fftw_free(out);

    return 0;  
}

谁能告诉我我做错了什么？

Answer 1

派生高斯的离散化信号应该是:

        x[i] = dx*i;
        v[i] = -2*x[i]*exp( -pow( x[i], 2) );

然而，离散傅里叶变换对应于周期信号的傅里叶变换。实际上，下划线离散化函数被写成正弦波的无限加权和。

因此，当应用 DFT 时，上面的离散化信号对应于高斯导数的周期化一半。实际上，它的平均值(零频率)不为零，因为所有值都是负数。

要模拟高斯导数(或“有限”范围的任何其他信号)，必须覆盖信号的整个范围。因此，必须选择 dx 使得 dx*N>>sigma，其中 sigma 是高斯的标准偏差。并且必须覆盖函数的所有支持，包括导数的积极方面。

你能试试这样的东西吗:

        double sigma=dx*N*0.1;
        x[i] = dx*i-dx*(N/2);
        v[i] = -2*x[i]*exp( -pow( x[i]/sigma, 2) );

由于标准偏差的值，必须留有缩放比例。

DFT 对非周期函数仍然有用，但非周期函数要通过使用 window 映射到周期函数。 .这里观察到的是，应用矩形窗口、周期化然后推导与推导、应用矩形窗口然后最后周期化是不同的。虽然都是线性的，但这些运算符不会通勤!