python - numpy 似乎为圆形矩阵返回错误的特征向量

Question

我正在使用 numpy 计算循环矩阵的特征值和特征向量。这是我的代码(j=1,2...6 的 Hji 是预定义的):

>>> import numpy as np
>>> H = np.array([H1i, H2i, H3i, H4i, H5i, H6i])
>>> H
array([[ 0.,  1.,  0.,  0.,  0.,  1.],
       [ 1.,  0.,  1.,  0.,  0.,  0.],
       [ 0.,  1.,  0.,  1.,  0.,  0.],
       [ 0.,  0.,  1.,  0.,  1.,  0.],
       [ 0.,  0.,  0.,  1.,  0.,  1.],
       [ 1.,  0.,  0.,  0.,  1.,  0.]])
>>> from numpy import linalg as LA
>>> w, v = LA.eig(H)

>>> w
array([-2.,  2.,  1., -1., -1.,  1.])
>>> v
array([[ 0.40824829, -0.40824829, -0.57735027,  0.57732307,  0.06604706,
         0.09791921],
       [-0.40824829, -0.40824829, -0.28867513, -0.29351503, -0.5297411 ,
        -0.4437968 ],
       [ 0.40824829, -0.40824829,  0.28867513, -0.28380804,  0.46369403,
        -0.54171601],
       [-0.40824829, -0.40824829,  0.57735027,  0.57732307,  0.06604706,
        -0.09791921],
       [ 0.40824829, -0.40824829,  0.28867513, -0.29351503, -0.5297411 ,
         0.4437968 ],
       [-0.40824829, -0.40824829, -0.28867513, -0.28380804,  0.46369403,
         0.54171601]])

特征值是正确的。然而，对于特征向量，我发现它们不是线性独立的

>>> V = np.zeros((6,6))
>>> for i in range(6):
...     for j in range(6):
...         V[i,j] = np.dot(v[:,i], v[:,j])
... 

>>> V
array([[  1.00000000e+00,  -2.77555756e-17,  -2.49800181e-16,
         -3.19189120e-16,  -1.11022302e-16,   2.77555756e-17],
       [ -2.77555756e-17,   1.00000000e+00,  -1.24900090e-16,
         -1.11022302e-16,  -8.32667268e-17,   0.00000000e+00],
       [ -2.49800181e-16,  -1.24900090e-16,   1.00000000e+00,
         -1.52655666e-16,   8.32667268e-17,  -1.69601044e-01],
       [ -3.19189120e-16,  -1.11022302e-16,  -1.52655666e-16,
          1.00000000e+00,   1.24034735e-01,  -8.32667268e-17],
       [ -1.11022302e-16,  -8.32667268e-17,   8.32667268e-17,
          1.24034735e-01,   1.00000000e+00,  -1.66533454e-16],
       [  2.77555756e-17,   0.00000000e+00,  -1.69601044e-01,
         -8.32667268e-17,  -1.66533454e-16,   1.00000000e+00]])
>>> 

您可以看到有非对角线项(检查 V[2,5] = -1.69601044e-01)，这意味着它们不是线性独立向量。既然是 Hermitian 矩阵，它的特征向量如何相互依赖？

对了，我也是用matlab计算的，它返回了正确的值

V =

    0.4082   -0.2887   -0.5000    0.5000    0.2887   -0.4082
   -0.4082   -0.2887    0.5000    0.5000   -0.2887   -0.4082
    0.4082    0.5774         0         0   -0.5774   -0.4082
   -0.4082   -0.2887   -0.5000   -0.5000   -0.2887   -0.4082
    0.4082   -0.2887    0.5000   -0.5000    0.2887   -0.4082
   -0.4082    0.5774         0         0    0.5774   -0.4082


D =

   -2.0000         0         0         0         0         0
         0   -1.0000         0         0         0         0
         0         0   -1.0000         0         0         0
         0         0         0    1.0000         0         0
         0         0         0         0    1.0000         0
         0         0         0         0         0    2.0000

Answer 1

eig 返回的结果非常好。这个可以看

np.allclose(v.dot(np.diag(w)).dot(LA.inv(v)),H)

True

请注意，eig 的输出对应于 v * diag(w) * inv(v) 形式的输入矩阵的因式分解，它适用于泛型可对角化矩阵。由于 eig 将 H 视为没有特殊结构，因此返回的特征向量不应具有特殊结构，例如正交。 (不要将正交性与线性独立性混淆 - v 的列确实是线性独立的，这可以通过非零 LA.det(v) 简单地验证。)

函数 eigh 知道输入矩阵是 hermitian 并返回一个更方便的，即正交的特征向量集。