c++ - 机器精度以及 double 类型的最大值和最小值

Question

(1)我遇到过几种将epsilon添加到非负变量以保证非零值的情况。所以我想知道为什么不添加数据类型可以代表的最小值而不是epsilon？这两个可以解决的区别问题是什么？

(2)我还注意到， double 类型的最大值的倒数大于其最小值，而其最小值的倒数是inf，远大于其最大值。计算最大值和最小值的倒数是否有用？

(3)对于很小的 double 正数，要计算其倒数，当倒数开始没有意义时，它的大小是多少？设定互惠上限是否更好？界限是多少？

感谢致敬

Answer 1

您需要了解如何在CPU中表示浮点数。在数据类型中，为符号保留1位，即无论它是正数还是负数(是的，您可以在浮点数中使用正负0，)，然后为有效数保留若干位(或尾数)，这些是浮点数的有效数字，最后为指数保留了一些位数。现在浮点数的值为:

-1 ^符号*有效位数* 2 ^指数

这意味着最小的数字是一个很小的值，即具有最小指数的smalles有意义数。但是，舍入误差要大得多，并且取决于数字的大小，即具有给定指数的最小数字。 ε是1.0与下一个可表示的较大值之间的差。这就是在代码中使用epsilon的原因，该代码对于舍入错误具有鲁棒性，如果正确执行，实际上应该使用处理的数字的大小来缩放epsilon。通常，最小的可表示值实际上并没有任何重大用途。

您将看到规范化最小值和非规范化最小值之间的差异。问题在于，由于使用了有效数的方式，可以使负指数大于正数，例如，有效位数的位模式除最后一位为1之外，全为零，则该指数有效降低有效位数。为了最大程度地执行此操作，即使将有效位数设置为所有有效位数，有效指数仍将仅是给定的指数。即，考虑0.000001e-10与9.999999e + 10之间的差异，第一个远小于第二个大。第一个实际上是1e-16，第二个大约是1e + 11。

当然取决于浮点数的精度。在 double 情况下，最大值和下一个较小值之间的差已经很大(沿10 ^ 292行)，因此舍入误差将非常大。如前所述，如果值太小，您将直接获得inf。确实，没有严格的答案，这完全取决于您所需数字的精度。考虑到舍入误差约为epsilon *量级，(1 / epsilon)的倒数已经具有大约1.0的舍入误差，如果您需要精确到1e-3的数字，那么甚至epsilon也将太大而无法除以。

有关一些背景信息，请参见 IEEE754和 Machine epsilon上的这些维基百科页面。