python - 使用 UnivariateSpline 紧密拟合数据

Question

我有一堆代表 sigmoidal 函数的 x, y 点:

x=[ 1.00094909  1.08787635  1.17481363  1.2617564   1.34867881  1.43562284
  1.52259341  1.609522    1.69631283  1.78276102  1.86426648  1.92896789
  1.9464453   1.94941586  2.00062852  2.073691    2.14982808  2.22808316
  2.30634034  2.38456905  2.46280126  2.54106611  2.6193345   2.69748825]
y=[-0.10057627 -0.10172142 -0.10320428 -0.10378959 -0.10348456 -0.10312503
 -0.10276956 -0.10170055 -0.09778279 -0.08608644 -0.05797392  0.00063599
  0.08732999  0.16429878  0.2223306   0.25368884  0.26830932  0.27313931
  0.27308756  0.27048902  0.26626313  0.26139534  0.25634544  0.2509893 ]

我使用 scipy.interpolate.UnivariateSpline() 来拟合一些三次样条，如下所示:

from scipy.interpolate import UnivariateSpline
s = UnivariateSpline(x, y, k=3, s=0)

xfit = np.linspace(x.min(), x.max(), 200)
plt.scatter(x,y)
plt.plot(xfit, s(xfit))
plt.show()

这是我得到的:

由于我指定了 s=0，样条曲线完全依附于数据，但有太多摆动。使用更高的 k 值会导致更多的摆动。

所以我的问题是——

1. 我应该如何正确使用 scipy.interpolate.UnivariateSpline() 来拟合我的数据？更准确地说，如何使样条曲线的摆动最小化？
2. 对于这种 S 型函数，这甚至是正确的选择吗？我是否应该使用类似 scipy.optimize.curve_fit() 的东西来代替试用 tanh(x) 函数？

Answer 1

有几个选项，我在下面列出了几个。最后一个似乎给出了最好的输出。您应该使用样条曲线还是实际函数取决于您要对输出做什么；我在下面列出了两个可以使用的分析函数，但我不知道数据是在哪个上下文中得出的，因此很难找到最适合您的函数。

你可以玩 s，例如对于 s=0.005，绘图看起来像这样(仍然不是很漂亮，但您可以进一步调整):

但我确实会使用“适当的”函数并适合使用例如曲线拟合。下面的函数仍然不理想，因为它是单调递增的，所以我们错过了最后的递减；情节如下所示:

这是样条曲线和实际拟合的完整代码:

from scipy.interpolate import UnivariateSpline
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit


def func(x, ymax, n, k, c):
    return ymax * x ** n / (k ** n + x ** n) + c

x=np.array([ 1.00094909,  1.08787635,  1.17481363,  1.2617564,   1.34867881,  1.43562284,
  1.52259341,  1.609522,    1.69631283,  1.78276102,  1.86426648,  1.92896789,
  1.9464453,   1.94941586,  2.00062852,  2.073691,    2.14982808,  2.22808316,
  2.30634034,  2.38456905,  2.46280126,  2.54106611,  2.6193345,   2.69748825])
y=np.array([-0.10057627, -0.10172142, -0.10320428, -0.10378959, -0.10348456, -0.10312503,
 -0.10276956, -0.10170055, -0.09778279, -0.08608644, -0.05797392,  0.00063599,
  0.08732999,  0.16429878,  0.2223306,   0.25368884,  0.26830932,  0.27313931,
  0.27308756,  0.27048902,  0.26626313,  0.26139534,  0.25634544,  0.2509893 ])


popt, pcov = curve_fit(func, x, y, p0=[y.max(), 2, 2, -0.1], bounds=([0, 0, 0, -0.2], [0.4, 45, 2000, 10]))
xfit = np.linspace(x.min(), x.max(), 200)
plt.scatter(x, y)
plt.plot(xfit, func(xfit, *popt))
plt.show()

s = UnivariateSpline(x, y, k=3, s=0.005)

xfit = np.linspace(x.min(), x.max(), 200)
plt.scatter(x, y)
plt.plot(xfit, s(xfit))
plt.show()

第三种选择是使用更高级的函数，该函数还可以重现末尾的减少和 differential_evolution 的拟合；这似乎是最合适的:

代码如下(使用与上面相同的数据):

from scipy.optimize import curve_fit, differential_evolution    

def sigmoid_with_decay(x, a, b, c, d, e, f):

    return a * (1. / (1. + np.exp(-b * (x - c)))) * (1. / (1. + np.exp(d * (x - e)))) + f

def error_sigmoid_with_decay(parameters, x_data, y_data):

    return np.sum((y_data - sigmoid_with_decay(x_data, *parameters)) ** 2)

res = differential_evolution(error_sigmoid_with_decay,
                             bounds=[(0, 10), (0, 25), (0, 10), (0, 10), (0, 10), (-1, 0.1)],
                             args=(x, y),
                             seed=42)

xfit = np.linspace(x.min(), x.max(), 200)
plt.scatter(x, y)
plt.plot(xfit, sigmoid_with_decay(xfit, *res.x))
plt.show()

拟合对于边界非常敏感，所以当你玩那个的时候要小心......