c++ - 在 opencv 中组合 Scharr 导数

Question

我几乎没有关于 Scharr 导数及其 OpenCV 实现的问题。

我对具有 (3X3) 内核的二阶图像导数感兴趣。我从 Sobel 二阶导数开始，它未能在图像中找到一些细线。看完this page底部的Sobel和Charr比较，我决定通过更改此行来尝试 Scharr:

Sobel(gray, grad, ddepth, 2, 2, 3, scale, delta, BORDER_DEFAULT);

到这一行:

Scharr(img, gray, ddepth, 2, 2, scale, delta, BORDER_DEFAULT);

我的问题是，似乎 cv::Scharr 一次只允许执行一个偏导数的一阶，所以我得到以下错误:

错误:函数 getScharrKernels 中的 (-215) dx >= 0 && dy >= 0 && dx+dy == 1

(参见断言行 here )

根据这个限制，我有一些关于 Scharr 衍生物的几个问题:

1. 使用高阶 Scharr 导数是否被视为不良做法？为什么 OpenCV 选择断言 dx+dy == 1？

2. 如果我要为每个轴调用 Scharr 两次，合并结果的正确方法是什么？我目前正在使用:

   addWeighted( abs_grad_x, 0.5, abs_grad_y, 0.5, 0, grad );

   但我不确定 Sobel 函数是如何结合两个轴的，以及对于所有 4 个导数应该以什么顺序完成。

3. 如果我要使用 4 个不同的内核来计算 (dx=2,dy=2) 导数，我想在将所有 4 个内核应用到图像之前将其统一为 1 来减少处理时间(我假设这就是 cv::Sobel 所做的)。是否有一种合理的方法来创建这样的组合 Shcarr 内核并将其与我的图像进行卷积？

谢谢!

Answer 1

1. 我从未读过原始的 Scharr 论文(论文在 German 中)所以我不知道为什么 Scharr() 函数不允许高阶导数。可能是因为我在下面 #3 中提出的第一点？

2. Scharr 函数应该是一个导数。多变量函数 f(x) = f(x0, ..., xN) 的全导数是

   df/dx = dx0*df/dx0 + ... + dxN*df/dxN
   

   也就是说，每个部分的总和乘以变化。当然，在图像的情况下，输入中的变化 dx 是单个像素，因此它相当于 1。换句话说，只需对部分求和即可；没有将它们加权一半。您可以使用 addWeighted() 并将 1 作为权重，或者您可以将它们相加，但要确保您不会使图像饱和，您需要将其转换为 float 或 16 位图像第一。但是，如果您尝试获取梯度而不是导数，那么计算导数的欧几里得量级也很常见。

   然而，这只是一阶导数。对于更高的订单，您需要应用一些链条。参见 here有关合并第二个订单的详细信息。

3. 请注意，一阶导数的优化内核不一定是二阶导数的最佳内核，因为它应用了两次。 Scharr自己有一篇关于优化二阶导数核的论文，可以看看here .

   话虽如此，过滤器被分成 x 和 y 方向以制作线性可分离过滤器，这基本上将您的 2d 卷积问题转化为两个具有较小内核的 1d 卷积。想一想 Sobel 和 Scharr 内核:对于 x 方向，它们都只有两边的单列具有相同的值(除了一个是负面的)。当您在图像上滑动内核时，在第一个位置，您将第一列和第三列乘以内核中的值。然后两步之后，你将第三步和第五步相乘。但是第三个已经计算出来了，所以很浪费。相反，由于两边相同，只需将每一列乘以 vector ，因为您知道您需要这些值，然后您可以只查找第 1 列和第 3 列中结果的值并减去它们。

   简而言之，我认为您不能将它们与内置的可分离过滤函数结合使用，因为某些值有时为正，否则为负；知道何时线性应用过滤器的唯一方法是分别进行。但是，我们可以检查应用这两种过滤器的结果，看看它们如何影响单个像素，构建 2D 内核，然后与 OpenCV 进行卷积。

假设我们有一个 3x3 的图像:

image
=====
a b c 
d e f 
g h i

我们有 Scharr 内核:

kernel_x
========
-3    0   3
-10   0   10
-3    0   3

kernel_y
========
-3   -10  -3
 0    0    0
 3    10   3

将每个内核应用于此图像的结果为我们提供:

image * kernel_x
================
-3a  -10b  -3c 
+0d  +0e   +0f
+3g  +10h  +3i  

image * kernel_y  
================
-3a   +0b  +3c 
-10d  +0e  +10f 
-3g   +0h  +3i

将这些值相加并放入像素 e 中。由于这两者的总和是全导数，我们在一天结束时将所有这些值加到像素 e 中。

image * kernel_x + image * kernel y
===================================
-3a -10b -3c           +3g +10h +3i
-3a      +3c -10d +10f -3g      +3i
+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+
-6a -10b +0c -10d +10f +0g +10h +6i

这与我们乘以内核得到的结果相同

kernel_xy
=============
-6   -10   0
-10   0    10
 0    10   6

所以有一个 2D 内核执行单阶导数。注意到什么有趣的事了吗？这只是两个内核的相加。这令人惊讶吗？不是真的，因为 x(a+b) = ax + bx。现在我们可以将其传递给 filter2D()计算导数的加法。这实际上会给出相同的结果吗？

import cv2
import numpy as np

img = cv2.imread('cameraman.png', 0).astype(np.float32)

kernel = np.array([[-6, -10, 0],
                   [-10, 0, 10],
                   [0, 10, 6]])

total_first_derivative = cv2.filter2D(img, -1, kernel)

scharr_x = cv2.Scharr(img, -1, 1, 0)
scharr_y = cv2.Scharr(img, -1, 0, 1)

print((total_first_derivative == (scharr_x + scharr_y)).all())

True

是的。现在我想你可以做两次。