matlab - 求解线性复杂方程组

Question

假设我的方程组如下所示:

A(1+2i) + B(100i) =10i;
CONJ(A)*(11i) +B(12+ 17i)= 167;

其中A和B是复数；

如何使用 MATLAB 求解 A 和 B？ (我需要求解一个包含 10 个方程的系统。)

Answer 1

这是一道数学题。基本上，一旦你分离实部/虚部，你就有四个方程和四个未知数

A*(1+2i) + B*(100i) =10i;
CONJ(A)*(11i) +B*(12+ 17i)= 167;

相当于

   real(A) - 2*imag(A)                 - 100*imag(B) =  0
 2*real(A) +   imag(A) +  100*real(B)                = 10
            11*imag(A) +   12*real(B)  -  17*imag(B) = 167
11*real(A)             +   17*real(B)  +  12*imag(B) = 0

然后在线性方程中定义系数 x= [real(A) imag(A) real(B) imag(B)] 并将它们求解为

A= [1   -2    0  -100
    2    1  100     0
    0   11   12   -17
   11    0   17    12];

b = [0 10 167 0]';

A\b

ans =

  0.4049
 14.7920
 -0.0560
 -0.2918

所以 A=0.4049+14.7929i, B = -0.0560 -0.2908i

有一些平均舍入误差。

当然，如果您有 10 个复杂方程(20 个方程和 20 个未知数)，这当然不是很有帮助。但是，您可以将上面的系统重写为

    real(A)                 -   2*imag(A)  - 100*imag(B)  =  0
            +   12*real(B)  +  11*imag(A)  -  17*imag(B)  = 167
  2*real(A) +  100*real(B)  +     imag(A)                 = 10
 11*real(A) +   17*real(B)                 +  12*imag(B)  = 0

定义

D= [(1+2i)    (100i) 
     (11i)  (12+17i) ]; 

c = [10i 167]';     

(来自原始系统 Dx=c)一个人认识到这是 E*x_=f with

E = [ real(D) -imag(D) 
      imag(D)  real(D) ];

f =  [real(c) ; imag(c)];

除了一些术语由于共轭操作而改变了符号。这可以单独解决，方法是将数组 E 乘以适当的 ones 矩阵，其中涉及复数共轭运算的项的符号倒置。这可以按如下方式完成。在应用共轭运算的原始方程对中的位置定义一个包含 1 的矩阵 conj:

conj=[ 0 0
       1 0];

则符号矩阵为

sgn = 2* ([ imag(conj) -real(conj) 
           real(conj)  imag(conj)]+1 >0)-1;

解决方案是

(E.*sgn)\f

ans =

    0.4049
   -0.0560
   14.7920
   -0.2918