matlab - 如何描述从中心点径向向外移动的线？

Question

我在 3d 空间 (x,y,z) 中有一个点。我想离散地从该点径向向外移动(比如 r=1 和 r=2)。在 x,y 平面上，我可以简单地通过步进 ((x+r cos(theta)), (y+r sin(theta)), z) 向外移动，其中 r = 1 或 2，theta 每次变化，比如说 10 度.

但是，如果我想让线条在倾斜平面上向外移动并在该平面内步进我的线条，我不确定如何描述这种运动。

我认为它只是使用球坐标。但是，如果我使用 (x=rho sin phi cos theta, y=..., z=...) 从中心点画线，会不会形成一个圆锥体而不是一个在平面上倾斜的圆？

附言将在 MATLAB 中实现这一点

Answer 1

您可以先使坐标从 P0 向外移动，然后使用 rotation matrix 旋转坐标。 .

因此，正如 MBo 指出的那样，您对所有 R 和 theta 取点 P:

P = [ P0x + R * cos(theta); P0y + R * sin(θ); 0]

然后你制作一个旋转矩阵，以你想要的角度旋转 XY 平面

如果将其与坐标相乘，您将得到旋转后的坐标。例如，点 [1,0,0] 绕 Z 轴旋转 90 度:

但是您可能想围绕点 P0 旋转而不是围绕原点旋转，那么您必须使用以下平移制作仿射矩阵:

tx = x- r00 * x - r01 * y - r02 * z

ty = y- r10 * x - r11 * y - r12 * z

tz = z- r20 * x - r21 * y - r22 * z

然后用T和R做一个仿射变换矩阵(图中记为M，sorry):

在此图中，Q 是旧坐标，Q' 是新坐标。

我遇到了类似的问题并使用了 this回答并根据您的问题进行调整:

%input point and rotated plane
p0 = [10;10;10;1]; % the last entry is your homogeneous dimension
r0 = [45,45,45]; r0 = r0*pi/180;

%rotation to plane
Rx=[1 0 0 0;
    0 cos(r0(1)) sin(r0(1)) 0;
    0 -sin(r0(1)) cos(r0(1)) 0;
    0 0 0 1];
Ry=[cos(r0(2)) 0 -sin(r0(2)) 0;
    0 1 0 0;
    sin(r0(2)) 0 cos(r0(2)) 0;
    0 0 0 1];
Rz=[cos(r0(3)) sin(r0(3)) 0 0;
    -sin(r0(3)) cos(r0(3)) 0 0;
    0 0 1 0;
    0 0 0 1];
R = Rz*Ry*Rx; A = R;
T = ( eye(3)-R(1:3,1:3) ) * p0(1:3); %calculate translation to rotate about the point P0
A(1:3,4) = T; % to rotate about the origin just leave out this line

%make coordinates for the points going outward from p0
nangles = 36; anglestep = 2*pi/nangles;
nradii = 2; radiistep = 1;

thetas = anglestep:anglestep:2*pi;
rs = radiistep:radiistep:nradii*radiistep;
npoints = nradii*nangles;

coordinates = zeros(4,npoints); curpoint = 0;
for itheta = 1:nangles; for iradius = 1:nradii; 
        curpoint = curpoint+1;
        coordinates(:, curpoint) = p0+rs(iradius)*[cos(thetas(itheta));sin(thetas(itheta));0;0];
end; end

coordinates_tilted = A*coordinates; %rotate the coordinates to the new plane

结果是这张图:

figure;
scatter3(coordinates_tilted(1,:),coordinates_tilted(2,:),coordinates_tilted(3,:), 'MarkerEdgeColor',  'green')
hold on
scatter3(coordinates(1,:),coordinates(2,:),coordinates(3,:), 'MarkerEdgeColor',  'red')
legend('tilted', 'original')

或者将它们绘制成线条:

%or as lines
coorarray = reshape(coordinates, [4 nradii nangles]);
Xline = squeeze(coorarray(1,:,:));
Yline = squeeze(coorarray(2,:,:));
Zline = squeeze(coorarray(3,:,:));

coorarray_tilted = reshape(coordinates_tilted, [4 nradii nangles]);
Xline_tilted = squeeze(coorarray_tilted(1,:,:));
Yline_tilted = squeeze(coorarray_tilted(2,:,:));
Zline_tilted = squeeze(coorarray_tilted(3,:,:));

figure;
plot3(Xline,Yline,Zline, 'r');
hold on
plot3(Xline_tilted,Yline_tilted,Zline_tilted, 'g');
legend( 'original', 'tilted')

这是否回答了您的问题？现在，这些点位于所有 36 度角的倍数处，距离平面中的点 P0 的距离为 1 和 2，该平面在围绕点 P0 的所有轴上倾斜 45 度。如果您需要单独的“像素”来指定您的线(因此是整数坐标)，您可以将坐标四舍五入，这将是一种最近邻方法:

coordinates_tilted_nearest = round(coordinates_tilted);