matlab - 病态线性系统

Question

我有一个线性系统要解决，写为 Ax=bA 是一个 175 x 175 的对称正方形，在它的对角线上有一个(即 aii=1)，其他条目的范围从 0 到 1(即 0

A 非常病态，并且不是正定的，它的秩是 162，它的条件数是 3.5869e+16

我花了几天时间在 MATLAB 中解决这个问题，我尝试了几乎所有我能找到的方法，包括这些方法给了我一些解决方案。但我不知道如何信任他们，也不知道该信任哪个解决方案。有没有标准可以判断？

如果有人能给我一个我可以信任的解决方案，我将不胜感激。谢谢!

A 和 b 存储在 .mat 文件中，可以从 dropbox 链接下载:

https://www.dropbox.com/s/s6xlbq68juqs6xi/A.mat?dl=0

https://www.dropbox.com/s/pxl0hdup20hf2lr/b.mat?dl=0

像这样使用:

load('A.mat');

加载('b.mat');

x = A\b;

Answer 1

不确定这是否有帮助，但试一试:

Tikhonov regularization

基本上，当以下情况由于病态而难以计算时:

改为最小化以下内容

作为\Gamma 通常是单位矩阵。

最后，您会得到以下 x 的等式:

除此之外，您通常需要添加一个“超参数”，以控制问题的正则化程度。所以\Gamma 不仅仅是单位矩阵，而是一个数字(即 0.001)乘以 size(A) 的单位矩阵。

最后一个等式应该很容易在 Matlab 中尝试。试一试。

注意:这不是答案。实际上，解决病态问题可能没有唯一的答案。这只是一条路。