用于高斯函数的 Matlab FFT

Question

我正在尝试通过使用 matlab 的 fft 获得 高斯曲线。问题是，在一种情况下，我尝试通过除以 F=dt.*F./exp(-1i.*nu.*T/2) 来降低噪声的尝试不起作用(img 1)并且在第二种情况下，如果我试图获取 fft 结果的绝对值，我在图表中没有合适的比例(img 2)。

N=512;
T=10;
dt=T/(N-1);
t=linspace(-5,5,N);
f=exp(-t.^2);
F=fft(f);

F1=F(1:N/2+1);
F2=F(N/2+1:N);
F=[F2,F1];

dnu=(N-1)/(N*T);
nuNyq=1/(2*dt);
nu=-nuNyq+dnu*(0:N);
F=dt.*F;
%F=dt.*F./exp(-1i.*nu.*T/2);


y=linspace(-5,5,N);
F2=pi.^(1/2).*exp(-y.^2/4);

hold on
plot(y,F2); 
%plot(nu,real(F),'r');
plot(nu,abs(F),'r');
legend('analiticFT','FFT')
xlim([-5 5])
hold off

图片 1

img2

Answer 1

您的解析傅里叶变换公式中的缩放比例似乎不太正确。根据this Fourier Transform table on Wikipedia , 连续时域信号的变换

是

在你的情况下 a=1。相应的，你应该比较时域信号的FFT

t=linspace(-5,5,N);
f=exp(-t.^2);

用解析傅里叶变换

F2 = sqrt(pi)*exp(-(pi*y).^2);

因此，绘制与以下内容的比较:

hold off;
plot(y,F2); 
hold on;
plot(nu,abs(F),'r');
legend('analiticFT','FFT')
xlim([-5 5])

产量:

现在我们已经为比较建立了适当的基础，我们可以看看为什么 img 1 会出现振荡。简而言之，您生成的引用高斯脉冲 f=exp(-t.^2); 在 t=0 处有一个峰值。相应的“零” 离散时间瞬间自然是数组中的第一个索引(索引 1)。但是在您的数组中，此峰值出现在索引 N/2 处。下Shift theorem ，这会在频域中产生一个额外的 exp(-pi*j*k) 项，导致您看到的振荡。要解决此问题，您应该使用 ifftshift 将高斯脉冲移回:

F=fftshift(fft(ifftshift(f)));