matlab - 如何在 MATLAB 中求解只有一个分量的线性系统

Question

我需要求解线性系统

A x = b

这可以通过以下方式有效地完成

x = A \ b

但是现在 A 非常大，我实际上只需要一个组件，比如 x(1)。有没有比计算 x 的所有组件更有效地解决这个问题的方法？

A 不是稀疏的。在这里，效率实际上是一个问题，因为这是为许多 b 完成的。

此外，存储 K 的倒数并仅将其第一行乘以 b 是不可能的，因为 K 的条件很差。在这种情况下，使用 \ 运算符会使用 LDL 求解器，并且在显式使用逆运算时会失去准确性。

Answer 1

我认为从技术上讲，您不会比非常优化的 Matlab 例程得到加速，但是如果您了解它是如何求解的，那么您可以只求解 x 的一部分。例如 following.例如，在传统求解器中，您使用 backsub 进行 QR 求解。在 LU solve 中，您同时使用 back sub 和 front sub。我可以得到LU。不幸的是，由于它的解决方式，它实际上是从最后开始的。对于将同时使用两者的 LDL 也是如此。这并不排除可能有更有效的方法来解决您所拥有的问题。

 function [Q,R] = qrcgs(A)
%Classical Gram Schmidt for an m x n matrix 

[m,n] = size(A); 
% Generates the Q, R matrices
Q = zeros(m,n); 
R = zeros(n,n);
    for k = 1:n
        % Assign the vector for normalization
        w = A(:,k);
        for j=1:k-1
            % Gets R entries
            R(j,k) = Q(:,j)'*w;
        end

        for j = 1:k-1
           % Subtracts off orthogonal projections 
           w = w-R(j,k)*Q(:,j);
        end
        % Normalize 
        R(k,k) = norm(w);
        Q(:,k) = w./R(k,k);
    end

end

function x = backsub(R,b)
% Backsub for upper triangular matrix.
[m,n] = size(R);
p = min(m,n);
x  = zeros(n,1);

    for i=p:-1:1
        % Look from bottom, assign to vector
        r = b(i);
        for j=(i+1):p
            % Subtract off the difference
            r = r-R(i,j)*x(j);
        end
        x(i) = r/R(i,i);
    end

end