matlab - 带 fft 的点积

Question

根据卷积定理，时域的卷积是fft域的乘积。使用正确的零填充，它可以工作:

% convolution in time domain
a = [1 2 3];
b = [4 5 6];
c = conv(a,b);

a_padded=[a 0 0]; b_padded=[b 0 0];
c_bis=ifft(fft(a_padded).*fft(b_padded));
% we do find c_bis=c

然而，这个定理也应该反过来工作，时域中的乘积是 fft 域中的卷积。我不明白这部分:

d = a.*b;
D=conv(fft(a_padded),fft(b_padded));
d_bis=ifft(D);

它给出了 d_bis 的复向量。如何使用频域中的卷积来反转在时域中生成的逐点乘积？

Answer 1

有趣的问题!

错误(虽然是一个微妙的错误)是当你说

A product in the time domain is a convolution in the FFT domain

傅里叶变换也是如此。用Discrete Fourier transforms (DFT，或 FFT)，correct formulation是

A product in the time domain is a circular convolution in the FFT domain, divided by the sequence length

所以你必须在你的d_bis 计算中改变这个:

• 使用循环卷积，而不是卷积；
• 除以序列长度；
• 不要应用填充。

如果您有信号处理工具箱，您可以使用 cconv计算循环卷积:

N = length(a);
D = cconv(fft(a),fft(b), N)/N;
d_bis=ifft(D); %// now this equals d

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为了确保，correct formulation在第一种情况下(时域卷积给出频域乘积)还涉及循环卷积:

A circular convolution in the time domain is a product in the FFT domain

(在这种情况下不除以序列长度)

但是由于您在时域中填充了零，正常卷积和循环卷积之间的差异消失了，您得到了正确的结果。没有填充，它将是:

c = cconv(a, b, N);
c_bis=ifft(fft(a).*fft(b)); %// this equals c