matlab - 在 Matlab 中估计样本协方差矩阵特征值的方差

Question

我正在尝试使用 Matlab 研究样本协方差矩阵的特征值的统计方差。澄清一下，每个样本协方差矩阵都是从有限数量的矢量快照(受随机高斯白噪声影响)构建的。然后，通过大量的试验，生成大量此类矩阵并对其进行特征分解，以估计特征值的理论统计量。

根据多个来源(例如，参见 [1, Eq.3] 和 [2, Eq.11])，每个样本特征值的方差应该等于那个理论 特征值平方除以用于每个协方差矩阵的向量快照数。然而，我从 Matlab 得到的结果并不接近。

这是我代码的问题吗？用Matlab？ (我在处理类似问题时从未遇到过这样的麻烦)。

这是一个非常简单的例子:

% Data vector length
Lvec = 5;
% Number of snapshots per sample covariance matrix
N = 200;
% Number of simulation trials
Ntrials = 10000;
% Noise variance
sigma2 = 10;

% Theoretical covariance matrix
Rnn_th = sigma2*eye(Lvec);
% Theoretical eigenvalues (should all be sigma2)
lambda_th = sort(eig(Rnn_th),'descend');

lambda = zeros(Lvec,Ntrials);
for trial = 1:Ntrials
    % Generate new (complex) white Gaussian noise data
    n = sqrt(sigma2/2)*(randn(Lvec,N) + 1j*randn(Lvec,N));
    % Sample covariance matrix
    Rnn = n*n'/N;
    % Save sample eigenvalues
    lambda(:,trial) = sort(eig(Rnn),'descend');   
end

% Estimated eigenvalue covariance matrix
b = lambda - lambda_th(:,ones(1,Ntrials));
Rbb = b*b'/Ntrials
% Predicted (approximate) theoretical result
Rbb_th_approx = diag(lambda_th.^2/N)

引用资料:

[1] 弗里德兰德，B.；韦斯，A.J.； , "On the second-order statistics of the eigenvectors of sample covariance matrices ,"信号处理, IEEE Transactions on , vol.46, no.11, pp.3136-3139, Nov 1998[2] 卡维，M.；巴拉贝尔，A.； ，“The statistical performance of the MUSIC and the minimum-norm algorithms in resolving plane waves in noise ，”声学、语音和信号处理，IEEE Transactions on ，第 34 卷，第 2 期，第 331-341 页，1986 年 4 月

Answer 1

根据您的第一个引用文献的摘要:

“特征向量的二阶统计公式已在统计文献中推导出来并被广泛使用。我们指出，由于定义的非唯一性，数值模拟中观察到的统计数据与理论公式之间存在差异的特征向量。我们提出了两种方法来解决这种差异。第一种涉及修改理论公式以匹配计算结果。第二种涉及对计算进行简单修改以使其与现有公式匹配。”

听起来似乎存在差异，而且这两个“解决方案”听起来也像是 hack，但在没有实际论文的情况下，很难提供帮助。