matlab - 生成具有特定秩和基数的随机矩阵

Question

我想生成一个矩形矩阵 A，其元素位于闭区间 [0,1] 中，它满足以下属性:

(1) size(A) = (200,2000)
(2) rank(A) = 50
(3) nnz(A) = 100000

最好是 A 中的非零元素呈指数衰减，或者至少呈多项式衰减(我希望小值明显多于大值)。显然(我认为...)，最终归一化为 [0,1] 并不是这里的主要问题。

我试过但没有用的东西:

1. 首先使用A=abs(randn(200,2000)) 和阈值生成一个随机矩阵

   th = prctile(A(:),(1-(100000/(200*2000)))*100);
   A = A.*(A>th);
   

   现在满足属性(3)，我降低了等级

   [U,S,V] = svd(A);
   for i=51:200 S(i,i)=0; end
   A = U*S/V;
   

   但是这个矩阵几乎具有完整的基数(我丢失了属性 (3))。

2. 首先使用 A=rand(200,50)*rand(50,2000) 生成具有指定秩的矩阵。现在条件 (2) 已满足，我像以前一样进行阈值处理。只是现在我丢失了属性 (2)，因为矩阵几乎满秩了。

那么...有没有办法确保属性 (2) 和 (3) 同时满足？

附言我希望矩阵中的非零条目以某种随机/非结构化方式分布(仅仅制作 50 个非零列或行不是我的目标...)。

Answer 1

这满足所有条件，概率非常高:

A = zeros(200,2000);
A(:,1:500) = repmat(rand(200,50),1,10);

然后，如果需要，您可以对非零列进行混洗:

A = A(:,randperm(size(A,2)));

矩阵具有垂直结构:在 500 列中所有元素都非零，而在其余 1500 列中所有元素都为零。 (不确定这是否适合您的目的)。