matlab - cdf 的倒数

Question

我想计算给定 pdf 的逆累积密度函数(逆 cdf)。 pdf 直接作为直方图给出，即 N 个等距分量的向量。

我目前的做法是:

cdf = cumsum(pdf);
K = 3;   %// some upsampling factor
maxVal = 1;   %// just for my own usage - a scaling factor
M = length(cdf);
N = M*K;   %// increase resolution for higher accuracy
y = zeros(N, 1);
cursor = 2;
for i=1:N
   desiredF = (i-1)/(N-1)*maxVal;
   while (cursor<M && cdf(cursor)<desiredF)
    cursor = cursor+1;
   end;    

   if (cdf(cursor)==cdf(cursor-1))
       y(i) = cursor-1;
   else        
       alpha = min(1, max(0,(desiredF - cdf(cursor-1))/(cdf(cursor)-cdf(cursor-1))));
       y(i) = ((cursor-1)*(1-alpha) + alpha*cursor )/maxVal;
   end;

end;

y = resample(y, 1, K, 0);

这意味着我使用线性插值进行上采样，对直方图进行逆采样和下采样。这是一个相当丑陋的代码，不是很健壮(如果我改变上采样因子，我可以获得完全不同的结果)，而且速度慢得无用......有人能提出更好的方法吗？

注意:我尝试计算的广义逆(在 cdf 不可逆的情况下)是:

F^{-1}(t) = \inf{x \in R ; F(x)>t }   

F 为累积密度函数

[编辑:实际上，K = 1(即没有上采样)似乎可以提供更准确的结果...]

谢谢!

Answer 1

如果您的输入以非标准化直方图的形式指定，则只需使用内置的 quantile() 函数即可自动计算指定分位数的数据点，这就是逆累积分布函数。如果直方图按数据点数归一化(使其成为概率向量)，则只需先将其乘以数据点数即可。参见 here quantile() 的详细信息。基本上，您会假设给定您的直方图/数据，第一个参数是固定的，这会将 quantiles() 转换为仅具有指定概率值 p 的函数。如果需要，您可以轻松编写包装函数以使其更加方便。这消除了使用 cumsum() 显式计算 CDF 的需要。

已添加

如果我们假设直方图、bins 和数据点数分别为 h、b 和 N，则:

 h1 = N*h; %// Only if histogram frequencies have been normalized.
 data = [];
 for kk = 1:length(h1)
     data = [data repmat(b(kk), 1, h1(kk))];
 end

 %// Set p to the probability you want the inv-cdf for...
 p = 0.5;
 inv_cdf = quantiles(data,p)

已添加

对于必须利用现有 PDF 矢量的解决方案，我们可以执行以下操作。假设 x_old 和 pdf_old 分别是直方图 bin 和直方图频率。

 p = 0.5; %// the inv-cdf probability that I want
 num_points_i_want = 100; %// the number of points I want in my histogram vector

 x_new = linspace(min(x_old),max(x_old),num_points_i_want);
 pdf_new = interp1(x_old,pdf_old,x_new);
 cdf_new = cumsum(pdf_new);
 inv_cdf = min(x_new(cdf_new >= p));

或者，我们可以先创建 cumsum() CDF，如果不希望先进行插值，则在其上使用 interp1()。