Matlab:可变步长 ODE 求解器中的 if 语句和 abs() 函数

Question

我在网上阅读了这篇文章，其中提到使用“if 语句”和“abs()”函数会对 MATLAB 的可变步长 ODE 求解器(如 ODE45)产生负面影响。根据 OP 的说法，它会显着影响时间步长(需要太低的时间步长)，并且在微分方程最终积分时会给出较差的结果。我想知道这是不是真的，如果是，为什么。此外，如何在不求助于固定步长求解器的情况下缓解此问题。我在下面给出了一个示例代码来说明我的意思:

function [Z,Y] = sauters(We,Re,rhos,nu_G,Uinj,Dinj,theta,ts,SMDs0,Uzs0,...
Uts0,Vzs0,zspan,K)

Y0 = [SMDs0;Uzs0;Uts0;Vzs0]; %Initial Conditions
options = odeset('RelTol',1e-7,'AbsTol',1e-7); %Tolerance Levels
[Z,Y] = ode45(@func,zspan,Y0,options);

function DY = func(z,y)

    DY = zeros(4,1);

    %Calculate Local Droplet Reynolds Numbers
    Rez = y(1)*abs(y(2)-y(4))*Dinj*Uinj/nu_G;
    Ret = y(1)*abs(y(3))*Dinj*Uinj/nu_G;

    %Calculate Droplet Drag Coefficient
    Cdz = dragcof(Rez);
    Cdt = dragcof(Ret);

    %Calculate Total Relative Velocity and Droplet Reynolds Number
    Utot = sqrt((y(2)-y(4))^2 + y(3)^2);
    Red = y(1)*abs(Utot)*Dinj*Uinj/nu_G;

    %Calculate Derivatives
    %SMD
    if(Red > 1)
        DY(1) = -(We/8)*rhos*y(1)*(Utot*Utot/y(2))*(Cdz*(y(2)-y(4)) + ...
            Cdt*y(3)) + (We/6)*y(1)*y(1)*(y(2)*DY(2) + y(3)*DY(3)) + ...
            (We/Re)*K*(Red^0.5)*Utot*Utot/y(2);
    elseif(Red < 1)
        DY(1) = -(We/8)*rhos*y(1)*(Utot*Utot/y(2))*(Cdz*(y(2)-y(4)) + ...
        Cdt*y(3)) + (We/6)*y(1)*y(1)*(y(2)*DY(2) + y(3)*DY(3)) + ...
        (We/Re)*K*(Red)*Utot*Utot/y(2);
    end
    %Axial Droplet Velocity
    DY(2) = -(3/4)*rhos*(Cdz/y(1))*Utot*(1 - y(4)/y(2));
    %Tangential Droplet Velocity
    DY(3) = -(3/4)*rhos*(Cdt/y(1))*Utot*(y(3)/y(2));
    %Axial Gas Velocity
    DY(4) = (3/8)*((ts - ts^2)/(z^2))*(cos(theta)/(tan(theta)^2))*...
        (Cdz/y(1))*(Utot/y(4))*(1 - y(4)/y(2)) - y(4)/z;

end

end

其中函数“dragcof”由以下给出:

function Cd = dragcof(Re)    
if(Re <= 0.01)

    Cd = (0.1875) + (24.0/Re);

elseif(Re > 0.01 && Re <= 260.0)

    Cd = (24.0/Re)*(1.0 + 0.1315*Re^(0.32 - 0.05*log10(Re)));

else

    Cd = (24.0/Re)*(1.0 + 0.1935*Re^0.6305);
end
end

Answer 1

这是因为使用 if 语句、模运算 (abs()) 或诸如单位阶跃函数、狄拉克三角函数等计算的导数，将在解或其导数的值中引入不连续性，从而导致扭结、跳跃、拐点等。

这意味着 ODE 的解在相关时间具有完全的行为变化。可变步长积分商会做的是

• 检测这个
• 认识到他们将无法直接在“问题点”之外使用信息
• 减小步长，从上往下重复，直到问题点满足精度要求

因此，在问题点附近会有很多失败的步骤和步长的减少，对整体积分时间产生负面影响。

不过，可变步长积分器将继续产生良好的结果。恒定步长积分器不是解决此类问题的良方，因为它们无法首先检测到此类问题(没有误差估计)。

您可以将问题简单地分成多个部分。如果你事先知道变化会在什么时间点发生，你只需为每个间隔开始一个新的积分，每次使用前一个积分的输出作为下一个积分的初始值。

如果您不事先知道问题出在哪里，您可以使用 Matlab 的 ODE 求解器中称为事件函数 的这个非常好的功能(参见 the documentation) .您让 Matlab 的求解器之一检测事件(导数中符号的变化、if 语句中条件的变化，或其他)，并在检测到此类事件时终止积分。然后开始新的积分，从上一次开始，并像以前一样使用上一次积分的初始条件，直到达到最终时间。

由于 Matlab 将尝试准确 检测事件的位置，因此整体执行时间仍然会有轻微损失。但是，就执行时间和结果的准确性而言，它仍然比盲目运行集成要好得多。