matlab - 获取综合向量值

Question

我正在尝试整合正弦函数。我的目标不仅是获取一定距离之间的区域的值，而且是综合类(class)的具体值。

实现此目的的一种方法是使用 cumtrapz。我想使用积分或四边形获得相同的结果。所以我想知道是否有类似 cumquad 的东西？

我试着为自己写一些东西，但它工作起来很慢，而且似乎比 cumtrapz 还差。稍后我想整合测量数据。所以它不会像正弦那么简单。

这是我当前的代码:

a = 0; b = 10;

x = a:0.1:b; 
y = 2*sin(3*x);
pp = spline(x,y);

y2=zeros(1,length(y));
y3=zeros(1,length(y));

y2(1)=integral(@(x)ppval(pp,x),x(1),x(2));
y3(1)=integral(@(x)ppval(pp,x),x(1),x(2));
for a=2:(length(y)-1)

   y2(a) = y2(a-1)+integral(@(x)ppval(pp,x),x(a-1),x(a));
   y3(a) = y3(a-1)+quad(@(x)ppval(pp,x),x(a-1),x(a));

end
y4=cumtrapz(x,y);
% y5=cumsum(y);

plot(x,y)
hold on
plot(x,y2,'-ro')
plot(x,y3,'-kx')
plot(x,y4,'g')
syms x % compare with analytical result
ya=2*sin(3*x);
ya5=int(ya)+(2/3);
ezplot(x,ya5)

Answer 1

使用积分

我认为没有办法让 MATLAB 沿路径返回积分，因此您一次执行一个 Δx 积分是正确的。缓慢来自每个 integral 调用的循环和后续重启。您可以通过将每个区间的积分作为向量值函数来避免循环。

数学

假设我们将 x 划分为 N-1 个区间，总边界为 N 并将区间边界表示为 x _n 其中 n ∈{1,2,3...,N} 使得 x₁ ≤ x ₂ ≤ x₃ ... ≤ x_N。那么区间内的任何积分都是

使用u-替换:

积分变为:

其中 Δx_n = x_n - x_n-1

代码

现在，我们可以通过指定下界x_n-1，指定区间宽度Δx，并从 0 积分到 1。最好的部分是，如果下界和区间宽度是向量，我们可以根据 u 创建一个向量值函数，并将 integral 与选项 'ArrayValued' = true。

x    = a:0.1:b; 
xnm1 = x(1:end-1);
dx   = x(2:end) - xnm1;
fx   = @(x) 2*sin(3*x);
f    = @(u) dx .* fx(dx*u+xnm1);
y    = cumsum([0,integral(@(u)f(u),0,1,'ArrayValued',true)]);

cumsum 说明了给定区间内的每个积分都需要加上前一个区间的值这一事实。

在我的机器上，这至少比循环版本快一个数量级，并且随着间隔计数的增加而变得更好。

使用ode45

使用也可以使用ode45来进行整合。它几乎没有 integral 方法那么有效，但它在概念上可能更容易并且看起来更清晰。事实上，当需要返回与 integral 相当的绝对误差时，ode45 比上面的积分方法慢大约 10 倍。

a    = 0;
b    = 10;

% These options are necessary to approach the accuracy of integral
opt = odeset('RelTol',100*eps(),'AbsTol',eps());
sol = ode45(@(x,y) 2*sin(3*x),[a,b],0,opt);

x    = a:0.01:b; 
yint = deval(sol,x);