matlab - 更快的投影范数(二次形式、度量矩阵...)式计算

Question

我需要对表单进行大量评估

X(:,i)' * A * X(:,i)   i = 1...n

其中 X(:,i) 是向量，A 是对称矩阵。表面上，我可以循环执行此操作

for i=1:n
    z(i) = X(:,i)' * A * X(:,i)
end

这很慢，或者将其矢量化为

z = diag(X' * A * X)

当 X 有很多列时，这会 Not Acceptable 地浪费 RAM。目前我正在妥协

Y = A * X
for i=1:n
    z(i) = Y(:,i)' * X(:,i)
end

速度更快/更轻一些，但似乎仍不能令人满意。

我希望可能有一些 matlab/scilab 惯用语或技巧可以更有效地实现这个结果？

Answer 1

在 MATLAB 中试试这个:

z = sum(X.*(A*X));

这给出的结果相当于 Federico's suggestion使用函数 DOT ，但应该运行得稍微快一些。这是因为 DOT函数内部计算结果的方式与我上面使用 SUM 所做的相同功能。然而，DOT对于处理复数的情况，还有额外的输入参数检查和额外计算，这是您可能不想要或不需要的额外开销。

关于计算效率的注释:

尽管这两种方法的运行速度之间的时间差异很小，但如果您要执行该操作很多 次，它就会开始加起来。为了测试相对速度，我创建了两个 100×100 的随机值矩阵，并在多次运行中对这两种方法进行计时以获得平均执行时间:

    METHOD        AVERAGE EXECUTION TIME
--------------------------------------------
Z = sum(X.*Y);        0.0002595 sec
Z = dot(X,Y);         0.0003627 sec

使用 SUM而不是 DOT因此，对于具有大约 10,000 个元素的矩阵，此操作的执行时间减少了大约 28%。矩阵越大，两种方法之间的这种差异就越可以忽略不计。

总而言之，如果此计算代表您的代码运行速度的重大瓶颈，我会使用 SUM 的解决方案。 .否则，任何一种解决方案都应该没问题。